Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B=P^{T}.A.P, sendo P invertível. Então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado diz que temos matrizes reais A,B,P de ordem n com P invertível e
B = P^{T}\,A\,P.
Pergunta-se se sempre vale \det(A)=\det(B). Para resolver, vamos usar as propriedades de determinante:
  1. \det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
  2. \det(X^{T})=\det(X).

Passo 2

Aplicando essas propriedades a \det(B), obtemos
\det(B)=\det\bigl(P^{T}AP\bigr) =\det(P^{T})\;\det(A)\;\det(P) =\det(P)\;\det(A)\;\det(P) =\det(A)\,\bigl(\det(P)\bigr)^{2}.

Passo 3

Da expressão
\det(B)=\det(A)\,\bigl(\det(P)\bigr)^{2}
vemos que \det(B)=\det(A) se e somente se \bigl(\det(P)\bigr)^{2}=1, isto é, \det(P)=\pm1. Mas, em geral, uma matriz invertível pode ter \det(P)\neq\pm1, e aí \det(B)\neq\det(A). Portanto a afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 4

Contra-exemplo simples: seja
A=I_{n}, \quad P=2I_{n}.
Então
B=P^{T}AP=(2I_{n})^{T}I_{n}(2I_{n})=4I_{n},
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\det(A)=1, \quad \det(B)=4^{n}\neq1 \quad(\text{para }n\ge1).
Isso mostra que, em geral, \det(B)\neq\det(A).

Resposta

(às vezes) falsa.

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