Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Sejam
e
matrizes reais de ordem
, tais que
.A.P, sendo
invertível. Então
.
( ) Sejam
Passo 1
O enunciado diz que temos matrizes reais
de ordem
com
invertível e
Pergunta-se se sempre vale
. Para resolver, vamos usar as propriedades de determinante:
-
. -
.
Passo 2
Aplicando essas propriedades a
, obtemos
Passo 3
Da expressão
vemos que
se e somente se
, isto é,
. Mas, em geral, uma matriz invertível pode ter
, e aí
. Portanto a afirmação não é sempre verdadeira.
Passo 4
Contra-exemplo simples: seja
Então
logo
Isso mostra que, em geral,
.
Resposta
(às vezes) falsa.