Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale sempre que, dado A com a primeira coluna nula, em qualquer produto compatível A B a primeira coluna de A B também seja nula. O conteúdo aqui é a multiplicação de matrizes vista pela ação de A sobre cada coluna de B.

Passo 2

Lembramos que, se B é n\times p e tem colunas \,b_{1},b_{2},\dots,b_{p}, então
A\,B = \bigl[A\,b_{1},\,A\,b_{2},\dots,A\,b_{p}\bigr].
Em particular, a primeira coluna de A B é A\,b_{1}.

Passo 3

Mesmo que a primeira coluna de A seja toda zero, A pode ter colunas seguintes não nulas. Ao multiplicar A por b_{1}, que pode ter componentes não nulas nas posições correspondentes a essas colunas, o produto A\,b_{1} pode ficar não zero.

Passo 4

Contra-exemplo concreto: seja
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a primeira coluna de A é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}. Mas
A\,B = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot1 + 1\cdot1 & 0\\[3pt]0\cdot1 + 1\cdot1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},
cuja primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Resposta

A afirmação é (às vezes) falsa.

Exercícios relacionados