Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se a primeira coluna de
for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto
.
( ) Se a primeira coluna de
Passo 1
O enunciado pergunta se vale sempre que, dado
com a primeira coluna nula, em qualquer produto compatível
a primeira coluna de
também seja nula. O conteúdo aqui é a multiplicação de matrizes vista pela ação de
sobre cada coluna de
.
Passo 2
Lembramos que, se
é
e tem colunas
, então
Em particular, a primeira coluna de
é
.
Passo 3
Mesmo que a primeira coluna de
seja toda zero,
pode ter colunas seguintes não nulas. Ao multiplicar
por
, que pode ter componentes não nulas nas posições correspondentes a essas colunas, o produto
pode ficar não zero.
Passo 4
Contra-exemplo concreto: seja
Aqui a primeira coluna de
é
. Mas
cuja primeira coluna é
.]
Resposta
A afirmação é (às vezes) falsa.