Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
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Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem, vale sempre a igualdade
O conteúdo envolve a propriedade do determinante em relação à soma de matrizes. Para responder, usaremos um contra-exemplo simples mostrando que essa igualdade falha em geral.
Passo 2
Lembremos que o determinante é uma forma multilinear nas colunas (ou linhas) e anti-simétrica, mas não é uma aplicação linear sobre o espaço de todas as matrizes. Em particular, não satisfaz
para matrizes de ordem maior do que 1.
Passo 3
Vamos construir um contra-exemplo com matrizes
. Seja
Então
onde
é a matriz identidade de ordem 2. Calculamos
enquanto
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Resposta
A igualdade
é às vezes falsa, conforme mostra o contra-exemplo acima.