Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, vale sempre a igualdade
\det(A+B)=\det(A)+\det(B).
O conteúdo envolve a propriedade do determinante em relação à soma de matrizes. Para responder, usaremos um contra-exemplo simples mostrando que essa igualdade falha em geral.

Passo 2

Lembremos que o determinante é uma forma multilinear nas colunas (ou linhas) e anti-simétrica, mas não é uma aplicação linear sobre o espaço de todas as matrizes. Em particular, não satisfaz
\det(A+B)=\det(A)+\det(B)
para matrizes de ordem maior do que 1.

Passo 3

Vamos construir um contra-exemplo com matrizes 2\times2. Seja
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 &1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 &1\end{pmatrix}.
Então
A+B = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 &2\end{pmatrix} = 2\,I_2,
onde I_2 é a matriz identidade de ordem 2. Calculamos
\det(A+B)=\det(2\,I_2)=2^2=4,
enquanto
\det(A)+\det(B)=1+1=2.
Logo
\det(A+B)=4\neq2=\det(A)+\det(B).]

Resposta

A igualdade \det(A+B)=\det(A)+\det(B) é às vezes falsa, conforme mostra o contra-exemplo acima.

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