(Valor 3.0) Sejam \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} matrizes do tipo m \times n. Classifique como verdadeiro ou falso:
a) \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}.
b) (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top}=\boldsymbol{A}^{\top}+\boldsymbol{B}^{\top}.
c) Se \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\mathbf{0}, então \boldsymbol{A}=\mathbf{0} ou \boldsymbol{B}=\mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} de tipo m \times n e pede para classificar as seguintes afirmações sobre propriedades de matrizes:
a) \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}.
b) (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top}=\boldsymbol{A}^{\top}+\boldsymbol{B}^{\top}.
c) Se \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}=\mathbf{0}, então \boldsymbol{A}=\mathbf{0} ou \boldsymbol{B}=\mathbf{0}.

Passo 2

Para a) usamos a definição de soma de matrizes: cada elemento de \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} é a_{ij}+b_{ij} e de \boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} é b_{ij}+a_{ij}. Como em \mathbb{R} a soma é comutativa, vale
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}.
Para b) lembramos que a transposta de uma soma satisfaz
(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\top}
tem entrada (i,j) igual a a_{ji}+b_{ji}, que coincide com a entrada (i,j) de
\boldsymbol{A}^{\top}+\boldsymbol{B}^{\top}.
Logo as afimações a) e b) são verdadeiras.

Passo 3

Para c) basta um contraexemplo: em 2\times2 definimos
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Nenhuma das duas é a matriz nula, mas
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B} = \mathbf{0}.
Isso mostra que matrizes podem ter divisores de zero, logo a afirmação c) é falsa.]

Resposta

a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso

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