Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) \operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para toda matriz quadrada A de ordem n, vale sempre
\det(2A)=2\,\det(A).
O conteúdo aqui é a propriedade de homogeneidade do determinante: para qualquer escalar k e matriz A de ordem n, vale
\det(kA)=k^n\det(A).

Passo 2

Aplicando essa propriedade com k=2, obtemos
\det(2A)=2^n\det(A).
Para que isso seja igual a 2\,\det(A) precisamos de
2^n\det(A)=2\det(A)\quad\Longrightarrow\quad 2^n=2\quad\Longrightarrow\quad n=1.
Logo, só em matrizes 1\times1 a igualdade original se mantém.

Passo 3

Para qualquer matriz de ordem n>1 a igualdade falha. Por exemplo, seja
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Então
\det(2A)=\det\bigl(2I_2\bigr)=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2=4
enquanto
2\,\det(A)=2\cdot\det(I_2)=2\cdot1=2,
portanto \det(2A)\neq2\,\det(A).]

Resposta

A afirmação é às vezes falsa (falha sempre que a matriz tem ordem n>1; só é verdadeira em n=1).

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