Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() \operatorname{Se} \operatorname{det}\left(A A^{T}\right)=4, então \operatorname{det}(A)=2.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que \det(AA^{T})=4, podemos concluir necessariamente que \det(A)=2. O conteúdo envolvido é a propriedade do determinante de produto e a relação entre \det(A) e \det(A^{T}).

Passo 2

Usamos a propriedade de determinantes de produto e a igualdade de determinante de transposta:
\det(AA^{T}) = \det(A)\,\det(A^{T})
e sabemos que
\det(A^{T}) = \det(A).
Logo,
\det(AA^{T}) = \det(A)\,\det(A) = \bigl(\det(A)\bigr)^{2}.

Passo 3

Da equação \bigl(\det(A)\bigr)^{2} = 4 obtemos
\det(A) = 2 \quad\text{ou}\quad \det(A) = -2.
Portanto, não é obrigatório que \det(A) seja 2; ela pode ser também -2.

Passo 4

Contraexemplo simples: seja A a matriz 1\times1 dada por
A = \begin{pmatrix}-2\end{pmatrix}.
Então
AA^{T} = (-2)\cdot(-2) = 4,
logo \det(AA^{T})=4, mas \det(A)=-2\neq2. Isso mostra que a afirmação nem sempre vale.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

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