Se uma bola de neve esférica derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 2 cm^2 / min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro varia quando o raio é 20 cm .

Sejam

r : o raio em cm
x : o diâmetro em cm
S : a área da superfície esférica em cm^2
que consideramos funções de t ( tempo em minutos) e deriváveis.
Queremos d xd t quando x=2 cdot 20=40 (o dobro do raio) e d Sd t=-2.
Temos a relação
S=4 pi r^2=pi(2 r)^2=pi x^2
Derivando em t obtemos a relação entre taxas:
d Sd t=pi 2 x d xd t
(0,5)
Substituindo os dados, -2=pi cdot 80 cdot d xd t Rightarrow d xd t=-1 /(40 pi).
(O diâmetro decresce a uma taxa de 1 /(40 pi) cm / min.)

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de neve esférica está derretendo de modo que sua área de superfície S decresce a uma taxa de dSdt = -2, cm^2/min. Precisamos achar a taxa de variação do diâmetro x no instante em que o raio vale r=20, cm. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas em cálculo diferencial.

Passo 2

Definimos as variáveis em função do tempo t:
r(t): raio da esfera em cm;
x(t)=2r(t): diâmetro em cm;
S(t): área da superfície em cm^2.
Como sabemos que
S = 4pi r^2
e x=2r, podemos reescrever
S = pi,(2r)^2 = pi,x^2

Passo 3

Diferenciando essa relação em t, obtemos
dSdt = ddtl(pi x^2r) = picdot 2x,dxdt = 2pi x,dxdt

Passo 4

No instante em que r=20, cm, temos x=2r=40, cm. Substituindo dSdt = -2 e x=40 na relação anterior, chega-se a
-2 = 2pi cdot 40 ; dxdt Longrightarrow dxdt = -280pi = -140pi

Resposta

dxdt = -140pi cm/min

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