Se uma bola de neve esférica derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de
, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro varia quando o raio é 20 cm .
Sejam
: o raio em cm
: o diâmetro em cm
: a área da superfície esférica em
que consideramos funções de
( tempo em minutos) e deriváveis.
Queremos
quando
(o dobro do raio) e
.
Temos a relação
Derivando em
obtemos a relação entre taxas:
Substituindo os dados,
.
(O diâmetro decresce a uma taxa de
.)
que consideramos funções de
Queremos
Temos a relação
Substituindo os dados,
(O diâmetro decresce a uma taxa de
Passo 1
O enunciado diz que uma bola de neve esférica está derretendo de modo que sua área de superfície
decresce a uma taxa de
,
. Precisamos achar a taxa de variação do diâmetro
no instante em que o raio vale
,
. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas em cálculo diferencial.
Passo 2
Definimos as variáveis em função do tempo
:
– : raio da esfera em cm;
– : diâmetro em cm;
– : área da superfície em
.
Como sabemos que
–
–
–
Como sabemos que
e
, podemos reescrever
Passo 3
Diferenciando essa relação em
, obtemos
Passo 4
No instante em que
,
, temos
,
. Substituindo
e
na relação anterior, chega-se a