Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(b) Se f, g: R R são funções tais que f é limitada e lim x +infty g(x)=+infty, então tem-se que lim x +infty(f(x)+g(x))=+infty
Resp.: Verdadeira.

Passo 1

Estamos com duas funções f,g: RtoR, sendo que f é limitada e limxto+inftyg(x)=+infty, e queremos mostrar que limxto+infty[f(x)+g(x)]=+infty.

Passo 2

Como f é limitada, existe M>0 tal que |f(x)|<= M para todo xinR. Por outro lado, limxto+inftyg(x)=+infty significa que dado qualquer NinR, existe X>0 tal que para todo x>X temos g(x)>N+M.

Passo 3

Para x>X temos f(x)+g(x)>= g(x)-|f(x)|>= g(x)-M> (N+M)-M=N Isto mostra que para todo N existe X com f(x)+g(x)>N sempre que x>X, logo limxto+infty[f(x)+g(x)]=+infty.

Resposta

Verdadeira.

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