Questão 1 (Séries de Fourier). Determine a série de Fourier das seguintes funções:
f:[-4,4] R, f(x)=x^2.

Passo 1

Nesse exercício a gente quer achar a expansão em série de Fourier de uma função par f(x)=x² num intervalo simétrico [-4,4]. O conteúdo aqui é séries de Fourier em [-L,L] com L=4, e como x² é par, todos os coeficientes b_n serão zero, sobrando calcular a_0 e a_n usando as fórmulas de ortogonalidade.

Passo 2

Para encontrar o coeficiente a_0 usamos a fórmula
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx Como f(x)=x² e L=4,
a0=14integral-4^4x^2,dx=14cdot2integral0^4x^2,dx=12cdot4^33=323 Na série entra a0/2=16/3.

Passo 3

O coeficiente a_n vem de
an=1Lintegral-L^Lx^2cosl(tfracnpi xLr),dx Como a integranda é par podemos escrever
an=24integral0^4x^2cosl(tfracnpi x4r),dx=12In, onde
In=integral0^4x^2cosl(tfracnpi x4r),dx

Passo 4

Para calcular In usamos duas integrações por partes. Primeiro
In=l[x^2cdot4npisinl(tfracnpi x4r)r]0^4-integral0^42xcdot4npisinl(tfracnpi x4r),dx O termo de fronteira some porque sin(npi)=0. Chamando Jn=integral0^4xsin(tfracnpi x4),dx, fazemos outra parte por partes e achamos
Jn=-4^2npi(-1)^n, e daí
In=-24npiJn=2(-1)^n4^3n^2pi^2 Logo
an=12In=4^3n^2pi^2(-1)^n=64(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
x^2=a02+sumn=1^inftyancosl(tfracnpi x4r) com a0/2=16/3 e an=64(-1)^n/(n^2pi^2).

Resposta

x^2=163+sumn=1^infty64(-1)^nn^2pi^2cosl(npi x4r)

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