Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial
y^prime prime+6 y^prime+8 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1) =0 l e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1
Escolha uma opção:
y1(t)=2 e^-2(t-1)-e^-4(t-1) e y2(t)=12(e^-2(t-1)-e^-4(t-1))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas soluções independentes de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, sujeitas a condições iniciais em t=1. O conteúdo envolvido é resolução de EDO homogênea com coeficientes constantes e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a y’’ + 6y’ + 8y = 0:
r^2 + 6r + 8 = 0

Passo 3

Resolvendo, obtemos as raízes
r = -2 e r = -4

Passo 4

Portanto a solução geral pode ser escrita como
y(t) = C1 e^-2(t-1) + C2 e^-4(t-1)

Passo 5

Para obter y_1, impomos y_1(1)=1 e y_1’(1)=0. Substituindo t=1 em y e y’ temos
C1 + C2 = 1,
-2C1 -4C2 = 0

Passo 6

Resolvendo esse sistema, achamos C_1=2 e C_2=-1, logo
y1(t) = 2e^-2(t-1) - e^-4(t-1)

Passo 7

Para obter y_2, impomos y_2(1)=0 e y_2’(1)=1. Substituindo t=1 obtemos
C1 + C2 = 0,
-2C1 -4C2 = 1

Passo 8

Dessa vez C_1=1/2 e C_2=-1/2, então
y2(t) = tfrac12l(e^-2(t-1) - e^-4(t-1)r)

Resposta

y1(t)=2e^-2(t-1)-e^-4(t-1), y2(t)=tfrac12l(e^-2(t-1)-e^-4(t-1)r)

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