Encontre o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial
que satisfaçam as condições
Escolha uma opção:
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar duas soluções independentes de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, sujeitas a condições iniciais em t=1. O conteúdo envolvido é resolução de EDO homogênea com coeficientes constantes e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a y’’ + 6y’ + 8y = 0:
Passo 3
Resolvendo, obtemos as raízes
Passo 4
Portanto a solução geral pode ser escrita como
Passo 5
Para obter y_1, impomos y_1(1)=1 e y_1’(1)=0. Substituindo t=1 em y e y’ temos
Passo 6
Resolvendo esse sistema, achamos C_1=2 e C_2=-1, logo
Passo 7
Para obter y_2, impomos y_2(1)=0 e y_2’(1)=1. Substituindo t=1 obtemos
Passo 8
Dessa vez C_1=1/2 e C_2=-1/2, então