Dê exemplos de funções f e g tais que:
(a) lim x 0 f(x)=+infty, lim x 0 g(x)=+infty e lim x 0 f(x)g(x)=0.
(b) lim x 0 f(x)=+infty, lim x 0 g(x)=+infty e lim x 0(f(x)-g(x))=1.
© lim x 0(f(x)-g(x))=0 e lim x 0 f(x)g(x) neq 1.
(d) lim x 0 f(x)g(x)=1 e lim x 0(f(x)-g(x)) neq 0.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê exemplos de pares de funções f e g com certos comportamentos de limite em xto0. O conteúdo é sobre limites que podem ser infinitos e limites de quocientes ou diferenças. Vamos escolher funções simples (racionais ou polinomiais) que se comportem do jeito pedido.

Passo 2

Para o item (a) queremos limxto0f(x)=+infty, limxto0g(x)=+infty e limxto0f(x)g(x)=0. Uma estratégia é fazer g crescer mais rápido que f. Por exemplo, definimos
f(x)=1x,
g(x)=1x^2
Então, conforme xto0^+, ambos f(x) e g(x) vão a +infty, mas
f(x)g(x)=1/x1/x^2=xto0

Passo 3

No item (b) queremos ainda f(x) e g(x) indo a +infty quando xto0, porém f(x)-g(x)to1. Isso sugere escolher funções que diferem por uma constante. Por exemplo,
f(x)=1x+1,
g(x)=1x
Aqui f(x)to+infty e g(x)to+infty, e
f(x)-g(x)=1para todo xneq0,
de modo que limxto0(f(x)-g(x))=1.

Passo 4

No item © precisamos de f(x)-g(x)to0 mas f(x)/g(x) NÃO tender a 1. Uma boa ideia é fazer g(x) tender a zero mais rápido e adicionar um termo que zere a diferença sem influenciar muito o quociente. Por exemplo,
f(x)=x+x^2,
g(x)=x^2
Então
f(x)-g(x)=xto0,
mas
f(x)g(x)=x+x^2x^2=1+1xtopminfty,
o que definitivamente não é 1.

Passo 5

No item (d) queremos limxto0f(x)g(x)=1 mas limxto0(f(x)-g(x))neq0. Podemos usar novamente funções que diferem por uma constante, mas agora fazendo ambas crescerem muito para que o quociente vá a 1. Por exemplo,
g(x)=1x,
f(x)=1x+5
Nesse caso
f(x)g(x)=1+5xto1,
mas
f(x)-g(x)=5neq0

Resposta

(a) f(x)=1/x e g(x)=1/x²
(b) f(x)=1/x+1 e g(x)=1/x
© f(x)=x+x² e g(x)=x²
(d) f(x)=1/x+5 e g(x)=1/x

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