Dê exemplos de funções
e
tais que:
(a)
e
.
(b)
e
.
©
e
.
(d)
e
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede que a gente dê exemplos de pares de funções
e
com certos comportamentos de limite em
. O conteúdo é sobre limites que podem ser infinitos e limites de quocientes ou diferenças. Vamos escolher funções simples (racionais ou polinomiais) que se comportem do jeito pedido.
Passo 2
Para o item (a) queremos
,
e
. Uma estratégia é fazer
crescer mais rápido que
. Por exemplo, definimos
Então, conforme
, ambos
e
vão a
, mas
Passo 3
No item (b) queremos ainda
e
indo a
quando
, porém
. Isso sugere escolher funções que diferem por uma constante. Por exemplo,
Aqui
e
, e
de modo que
.
Passo 4
No item © precisamos de
mas
NÃO tender a 1. Uma boa ideia é fazer
tender a zero mais rápido e adicionar um termo que zere a diferença sem influenciar muito o quociente. Por exemplo,
Então
mas
o que definitivamente não é 1.
Passo 5
No item (d) queremos
mas
. Podemos usar novamente funções que diferem por uma constante, mas agora fazendo ambas crescerem muito para que o quociente vá a 1. Por exemplo,
Nesse caso
mas
Resposta
(a) f(x)=1/x e g(x)=1/x²
(b) f(x)=1/x+1 e g(x)=1/x
© f(x)=x+x² e g(x)=x²
(d) f(x)=1/x+5 e g(x)=1/x
(b) f(x)=1/x+1 e g(x)=1/x
© f(x)=x+x² e g(x)=x²
(d) f(x)=1/x+5 e g(x)=1/x