Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
n!>n^3, para todo n >= 6

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a desigualdade
n! > n^3
para todo n>=6.
O conteúdo envolvido é comparar fatoriais com potências e usar prova por indução matemática.

Passo 2

Verificação da base da indução em n=6.
Calculamos
6! = 720
e
6^3 = 216
Como 720 > 216, a propriedade é válida para n=6.

Passo 3

Passo de indução.
Suponha que para algum k>=6 valha
k! > k^3
Então
(k+1)! = (k+1),k! > (k+1),k^3
Para concluir queremos mostrar
(k+1),k^3 > (k+1)^3,
ou seja
k^3 > (k+1)^2
Como k>=6, temos
k^3 ;=; kcdot k^2 ;>=;6,k^2
e
6,k^2 - (k+1)^2 = 6k^2 - (k^2 + 2k +1) =5k^2 - 2k -1 >= 5cdot6^2 -2cdot6 -1 =180 -13 =167>0
Logo k^3>(k+1)^2 e segue que (k+1)!>(k+1)^3. Assim a propriedade se mantém de k para k+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
n! > n^3
para todo inteiro n>=6.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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