Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
, para todo
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a desigualdade
para todo
.
O conteúdo envolvido é comparar fatoriais com potências e usar prova por indução matemática.
O conteúdo envolvido é comparar fatoriais com potências e usar prova por indução matemática.
Passo 2
Verificação da base da indução em
.
Calculamos
Calculamos
e
Como
, a propriedade é válida para
.
Passo 3
Passo de indução.
Suponha que para algum valha
Suponha que para algum
Então
Para concluir queremos mostrar
ou seja
Como
, temos
e
Logo
e segue que
. Assim a propriedade se mantém de
para
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
para todo inteiro
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.