Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
n!>n^2, para todo n >= 4

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a afirmação
n! > n^2,para todo n>=4
é verdadeira, e em caso afirmativo apresentarmos uma prova; senão, um contraexemplo. O método natural aqui é a indução em n.

Passo 2

Base da indução ( n=4):
4! = 24 e 4^2 = 16,
logo 4! = 24 > 16 = 4^2. A base está verificada.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=4 valha
k! > k^2
Queremos mostrar que daí decorre
(k+1)! > (k+1)^2

Passo 4

Começamos escrevendo
(k+1)! = (k+1),k!
Pela hipótese de indução k!>k^2, obtemos
(k+1)! = (k+1),k! > (k+1),k^2

Passo 5

Falta comparar (k+1),k^2 e (k+1)^2. Observamos que
(k+1),k^2 >= (k+1)^2 ;iff; k^2 >= k+1
Para k>=4 temos
k^2 - (k+1) = k(k-1)-1 >= 4cdot3 -1 =11 >0,
logo k^2>= k+1. Portanto
(k+1),k^2 >= (k+1)^2 ;implies; (k+1)! > (k+1)^2

Passo 6

Concluímos então que, se k!>k^2 para algum k>=4, segue-se que (k+1)!>(k+1)^2. Juntando com a base n=4, por indução, a desigualdade vale para todo n>=4.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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