Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
, para todo
Passo 1
O enunciado nos pede para decidir se a afirmação
é verdadeira, e em caso afirmativo apresentarmos uma prova; senão, um contraexemplo. O método natural aqui é a indução em
.
Passo 2
Base da indução (
):
logo
. A base está verificada.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Queremos mostrar que daí decorre
Passo 4
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução
, obtemos
Passo 5
Falta comparar
e
. Observamos que
Para
temos
logo
. Portanto
Passo 6
Concluímos então que, se
para algum
, segue-se que
. Juntando com a base
, por indução, a desigualdade vale para todo
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.