Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
x-1x-2>2 Longrightarrow x-2x-1<12

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a implicação
x-1x-2>2Longrightarrowx-2x-1<tfrac12
é verdadeira, justificando cada etapa. O conteúdo envolve resolução de inequações racionais usando análise de sinais.

Passo 2

Resolvemos primeiro
x-1x-2>2
Fazendo a subtração e colocando tudo sobre o mesmo denominador (lembrando que xneq 2):
x-1x-2-2>0 Long<=ftrightarrow x-1-2(x-2)x-2>0 Long<=ftrightarrow -x+3x-2>0
Os pontos críticos são x=2 (denominador zero) e x=3 (numerador zero). Montando o quadro de sinais em cada intervalo:
Para x<2: numerador -x+3>0, denominador x-2<0 Rightarrow razão <0.
Para 2<x<3: numerador >0, denominador >0Rightarrow razão >0.
Para x>3: numerador <0, denominador >0Rightarrow razão <0.
Logo a solução é
2<x<3

Passo 3

Agora, em qualquer x com 2<x<3, temos x-2>0 e x-1>0. Então a segunda expressão
x-2x-1<tfrac12
pode ser manipulada sem inverter sinal ao multiplicar pelo denominador positivo:
x-2x-1<tfrac12 Long<=ftrightarrow 2(x-2)<x-1 Long<=ftrightarrow 2x-4<x-1 Long<=ftrightarrow x<3
Mas no intervalo já temos x<3 por construção.

Resposta

A implicação é verdadeira, pois toda solução de x-1x-2>2 está em 2<x<3, e nesse intervalo vale x-2x-1<tfrac12.

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