Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
x-2x-1<12 Longrightarrow x-1x-2>2

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a implicação
x-2x-1<12 Longrightarrow x-1x-2>2
é verdadeira para todo x em que faz sentido. Vamos então (i) resolver a inequação da esquerda, (ii) resolver a inequação da direita e (iii) comparar os conjuntos solução para ver se de fato todo x que satisfaz a primeira também satisfaz a segunda.

Passo 2

Resolvendo
x-2x-1<12,
primeiro levanto tudo num único lado:
x-2x-1-12<0 Longrightarrow 2(x-2)-(x-1)2(x-1)<0 Longrightarrow x-32(x-1)<0
Como o 2 no denominador é positivo, a condição é equivalente a
x-3,x-1,<0
Os pontos críticos são x=1 (denom.) e x=3 (num.). Fazendo o estudo de sinal:
  • Para x<1: x-3<0 e x-1<0 Rightarrow quociente >0.
  • Para 1<x<3: x-3<0 e x-1>0 Rightarrow quociente <0.
  • Para x>3: x-3>0 e x-1>0 Rightarrow quociente >0.
    Logo a solução da primeira é
1<x<3

Passo 3

Agora resolvo
x-1x-2>2
Faço o mesmo truque:
x-1x-2-2>0 Longrightarrow x-1-2(x-2)x-2>0 Longrightarrow 3-xx-2>0
Os pontos críticos são x=2 (denom.) e x=3 (num.). Estudando sinais:
  • Para x<2: 3-x>0 e x-2<0 Rightarrow quociente <0.
  • Para 2<x<3: 3-x>0 e x-2>0 Rightarrow quociente >0.
  • Para x>3: 3-x<0 e x-2>0 Rightarrow quociente <0.
    Portanto a solução da segunda é
2<x<3

Passo 4

Comparando os dois intervalos:
  • A primeira inequação vale em 1<x<3.
  • A segunda vale em 2<x<3.
    Como 2<x<3 é um subconjunto próprio de 1<x<3, existem valores (por exemplo x=1,5) que satisfazem a primeira inequação mas não a segunda.

Resposta

A implicação é falsa. boxedFalsa

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