Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
x-1<3 Longrightarrow(x-1)^2<9

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos analisar a veracidade da implicação
x - 1 < 3 ;Longrightarrow; (x-1)^2 < 9
O conteúdo aqui é perceber que a primeira condição é um intervalo unilaterial em x e a segunda é um intervalo bilateral para (x-1). Para decidir se a implicação vale sempre, vamos descobrir os conjuntos de x que satisfazem cada desigualdade e ver se há algum x que satisfaz o antecedente mas não o consequente.

Passo 2

Determine o conjunto de x que satisfaz o antecedente x - 1 < 3.
x - 1 < 3 Long<=ftrightarrow x < 4
Logo o antecedente é verdadeiro para todo x em (-infty,4).

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade do consequente (x-1)^2 < 9.
Uma quadrática menor que 9 significa que (x-1) fica entre as raízes de (x-1)^2-9=0, ou seja
(x-1)^2 < 9 Long<=ftrightarrow -3 < x-1 < 3 Long<=ftrightarrow -2 < x < 4
Portanto o consequente é verdadeiro apenas quando xin(-2,4).

Passo 4

Comparando ambos os conjuntos:
  • Antecedente: x<4 (todo (-infty,4)).
  • Consequente: -2<x<4.
Vemos que qualquer x< -2 satisfaz x<4 mas não satisfaz -2<x. Portanto para esses valores o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Por exemplo, se escolhermos x=-10 então
-10-1=-11<3 mas (-11)^2=121not<9

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem valores (por exemplo x=-10) que satisfazem x-1<3 mas não satisfazem (x-1)^2<9.

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