Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a condição
é logicamente equivalente à condição
para todo . O conteúdo aqui envolve manipulação de inequações e a ideia de que, ao elevar ambos os lados de uma desigualdade a uma potência, devemos garantir que a função envolvida (neste caso quadrado) seja estritamente crescente no intervalo dos valores que aparecem.
Passo 2
Suponha primeiro que
Como para todo , podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter o sinal da desigualdade. Logo,
Isso mostra que
Passo 3
Agora suponha que
Isso equivale a
Mas como x^2+1>=1>0, temos l|,x^2+1,r|=x^2+1. Portanto
x^2+1<7,
ou seja,
l(x^2+1r)^2<49Longrightarrow x^2+1<7
Passo 4
Concluímos que ambas as implicações são verdadeiras, logo