Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
x^2+1<7 Long<=ftrightarrow(x^2+1)^2<49

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a condição
x^2+1<7
é logicamente equivalente à condição
l(x^2+1r)^2<49
para todo xinR. O conteúdo aqui envolve manipulação de inequações e a ideia de que, ao elevar ambos os lados de uma desigualdade a uma potência, devemos garantir que a função envolvida (neste caso quadrado) seja estritamente crescente no intervalo dos valores que aparecem.

Passo 2

Suponha primeiro que
x^2+1<7
Como x^2+1>0 para todo x, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter o sinal da desigualdade. Logo,
l(x^2+1r)^2<7^2=49
Isso mostra que
x^2+1<7Longrightarrowl(x^2+1r)^2<49

Passo 3

Agora suponha que
l(x^2+1r)^2<49
Isso equivale a
l|,x^2+1,r|<7
Mas como x^2+1>=1>0, temos l|,x^2+1,r|=x^2+1. Portanto
x^2+1<7,
ou seja,
l(x^2+1r)^2<49Longrightarrow x^2+1<7

Passo 4

Concluímos que ambas as implicações são verdadeiras, logo
x^2+1<7 iff l(x^2+1r)^2<49
vale para todo xinR.

Resposta

A equivalência é verdadeira.

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