Questão 2 (1 pt) Encontre y^prime, a derivada da função implícita, dada pela equação
sen y=x^2
e determine a reta tangente no ponto ((raiz22)^1 / 2, pi4).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função implícita definida por
sin y = x^2
e pede (i) a derivada y'=dydx por diferenciação implícita e (ii) a reta tangente ao gráfico dessa relação no ponto
l(l(tfracraiz22r)^1/2,,tfracpi4r)

Passo 2

Diferenciando os dois lados em relação a x, usando a regra da cadeia em sin y, temos
cos y;dydx=2x
Isolando dydx, vem
dydx=2xcos y

Passo 3

No ponto l(x0,y0r) com
x0=l(tfracraiz22r)^1/2, y0=tfracpi4,
calculamos
cos y0=cos!l(tfracpi4r)=raiz22
Logo a inclinação da reta tangente é
m = y'l(x0,y0r) = 2,x0cos y0 = 2,l(tfracraiz22r)^1/2tfracraiz22 = 4;l(tfracraiz22r)^1/2!/!raiz2 =2^5/4

Passo 4

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y0 = m,(x - x0),
ou seja
y - pi4 =2^5/4l(x - l(tfracraiz22r)^1/2r)

Resposta

A derivada implícita é
y'=2xcos y,
e a reta tangente no ponto l((tfracraiz22)^1/2,tfracpi4r) é
y - pi4 =2^5/4l(x - l(tfracraiz22r)^1/2r)

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