Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras, justificando:
x^4=x^2 Long<=ftrightarrow x^2=x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a equivalência
x^4=x^2Long<=ftrightarrow x^2=x
é verdadeira, usando resolução de equações e comparação dos conjuntos de soluções.

Passo 2

Resolva a equação ,x^4=x^2. Colocando tudo num lado:
x^4-x^2=0
x^2(x^2-1)=0
Logo
x^2=0ou x^2=1
Isto dá as soluções
x=0, x=1, x=-1

Passo 3

Resolva a equação ,x^2=x. Reescrevendo:
x^2-x=0
x(x-1)=0
Logo
x=0ou x=1

Passo 4

Compare os dois conjuntos de soluções:
xmid x^4=x^2=0,1,-1, xmid x^2=x=0,1
Vemos que -1 pertence ao primeiro conjunto mas não ao segundo. Portanto a equivalência completa é falsa.
Entretanto, toda solução de x^2=x (isto é, 0 ou 1) também satisfaz x^4=x^2, de modo que
x^2=x;Longrightarrow;x^4=x^2
é verdadeira, mas a implicação inversa
x^4=x^2;Longrightarrow;x^2=x
é falsa (contraexemplo: x=-1).

Resposta

A bicondicional ,x^4=x^2Long<=ftrightarrow x^2=x é falsa.
Apenas a implicação ,x^2=ximplies x^4=x^2 é verdadeira; a outra direção falha (por exemplo em x=-1).

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