As inequações
2 x+7x+4>0 e x-7x^2-3 x-28<2
têm o mesmo conjunto de soluções? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para resolver e comparar duas inequações racionais:
2x+7x+4>0 e x-7x^2-3x-28<2
O conteúdo é inequação racional: vamos determinar domínio, reescrever em forma única e usar quadro de sinais.

Passo 2

Para 2x+7x+4>0:
O domínio exige xneq -4. O numerador zera em x=-tfrac72. Fazendo quadro de sinais nos intervalos (-infty,-4), (-4,-tfrac72) e (-tfrac72,infty), obtemos:
  • Em (-infty,-4): numerador <0, denominador <0 to fração >0.
  • Em (-4,-tfrac72): numerador <0, denominador >0 to fração <0.
  • Em (-tfrac72,infty): numerador >0, denominador >0 to fração >0.
    Logo a solução é
S1 = (-infty,-4),cup,l(-tfrac72,inftyr)

Passo 3

Para x-7x^2-3x-28<2:
O denominador fatoriza em (x-7)(x+4), então o domínio é xneq -4 e xneq 7. Subtraindo 2 e combinando em única fração:
x-7(x-7)(x+4) - 2 < 0 Long<=ftrightarrow 1x+4-2<0 Long<=ftrightarrow 2x+7x+4>0,
mantendo xneq -4 e xneq 7. Portanto a condição algébrica coincide com a da primeira inequação, mas aqui ainda excluímos x=7.

Passo 4

Comparando S1 com o conjunto da segunda inequação, vemos que ambas exigem
2x+7x+4>0 e xneq -4, mas a segunda também exclui x=7. Como 7in S1, os conjuntos não são iguais.

Resposta

Não. Ambas levam à condição 2x+7x+4>0, mas a segunda inequação exclui x=7, que é admitido na primeira.

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