Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
W2=(a, b, c) in R^3 / a+c=0 e 2 a-b=0 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado define
W2 = (a,b,c)in R^3 mid a + c = 0 e 2a - b = 0
e pede para decidir se W2 é subespaço de R^3. Como as duas equações são homogêneas, podemos tratar W2 como o conjunto de soluções de um sistema linear em R^3, ou seja, como o núcleo de uma aplicação linear de R^3 em R^2.

Passo 2

Primeiro, verificamos que o vetor zero satisfaz as duas equações:
a=0,;b=0,;c=0Rightarrow 0+0=0,;2cdot0-0=0,
logo (0,0,0)in W2, mostrando não vazio.
Em seguida, a partir de
2a - b = 0Rightarrow b = 2a,
e
a + c = 0Rightarrow c = -a,
um vetor genérico de W2 é
(a,b,c) = (a,,2a,,-a) = a,(1,2,-1)
Isso mostra
W2 = ,a(1,2,-1)mid ainR = Span(1,2,-1)

Passo 3

Como W2 é o conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,2,-1), ele contém o vetor zero, é fechado sob soma
a(1,2,-1) + a'(1,2,-1) = (a+a')(1,2,-1)in W2,
e é fechado sob multiplicação por escalar
lambdal(a(1,2,-1)r) = (lambda a)(1,2,-1)in W2
Portanto, W2 satisfaz todos os axiomas de subespaço vetorial.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados