Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
e
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para decidir se
é subespaço de
. Como as duas equações são homogêneas, podemos tratar
como o conjunto de soluções de um sistema linear em
, ou seja, como o núcleo de uma aplicação linear de
em
.
Passo 2
Primeiro, verificamos que o vetor zero satisfaz as duas equações:
logo
, mostrando não vazio.
Em seguida, a partir de
Em seguida, a partir de
e
um vetor genérico de
é
Isso mostra
Passo 3
Como
é o conjunto de todos os múltiplos escalares de
, ele contém o vetor zero, é fechado sob soma
e é fechado sob multiplicação por escalar
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de subespaço vetorial.
Resposta
A afirmação é verdadeira.