Determine a transformação linear T: R^2 R^3 tal que [T]C^B=[rr0 & 2 -1 & 0 -1 & 3], onde B= (1,1),(0,1) e C=(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear
;T:R^2toR^3
cuja matriz em relação à base do domínio
B=(1,1),(0,1)
e à base do contradomínio
C=(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1)
é
[T]C^B = 0 & 2 -1 & 0 -1 & 3
O que queremos é a fórmula de T (ou sua matriz) em coordenadas canônicas (base padrão).

Passo 2

As colunas de [T]C^B são as coordenadas de T(v1) e T(v2) na base C, onde
;v1=(1,1) e v2=(0,1).
Assim:
  • coluna 1= (0,-1,-1) significa
T(v1) =0,c1+(-1),c2+(-1),c3 =-c2-c3
  • coluna 2= (2,0,3) significa
T(v2) =2,c1+0cdot c2+3,c3 =2,c1+3,c3
Aqui ;c1=(0,3,0), ;c2=(-1,0,0), ;c3=(0,1,1).

Passo 3

Agora convertemos essas combinações em coordenadas padrão:
T(v1) =-c2-c3 =-(-1,0,0)-(0,1,1) =(1,0,0)-(0,1,1) =(1,-1,-1),
T(v2) =2,(0,3,0)+3,(0,1,1) =(0,6,0)+(0,3,3) =(0,9,3)

Passo 4

Para montar a matriz de na base padrão precisamos das colunas e , onde
e .
Expressamos cada em coordenadas de :


isto é .


isto é .

Passo 5

Usando linearidade:
T(e1) =1cdot T(v1)+(-1)cdot T(v2) =(1,-1,-1)-(0,9,3) =(1,-10,-4),
T(e2) =0cdot T(v1)+1cdot T(v2) =(0,9,3)
Então, em coordenadas padrão, a matriz de T é
[T]padrão = 1 & 0 -10 & 9 -4 & 3 ã

Resposta

[T]canônica = 1 & 0 -10 & 9 -4 & 3 ô

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