(1 pt) Considere a matriz A=[rrr1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1] e lambda in R. Faça o que se pede:
(a) Escreve as equações do sistema linear (A-lambda I3) X=O, nas variáveis x, y e z.
(b) O sistema linear (A-lambda I3) X=O tem solução única (SPD), para qualquer lambda in R ? Justifique sua resposta.
(c) Determine os valores de lambda in R de modo que o sistema linear (A-lambda I3) X=O tenha uma solução distinta da solução trivial (SPI).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1
e pede:
– (a) escrever o sistema (A-lambda I3)X=O em x,y,z,
– (b) verificar se para todo lambdainR ele é SPD (solução única),
– (c) achar lambda para o qual há solução não trivial (SPI).
O conteúdo usado será montagem de sistemas, determinante e invertibilidade.

Passo 2

Montamos
A-lambda I3 = 1-lambda & 4 & 0 -1 & 1-lambda & -4 0 & -2 & 1-lambda
e escrevemos as três equações em x,y,z:
(1-lambda)x ;+;4y ;+;0,z = 0,
-,x ;+;(1-lambda)y ;-;4z = 0,
-2y ;+;(1-lambda)z = 0

Passo 3

Para saber quando o sistema é SPD, calculamos
det(A-lambda I3) =(1-lambda) 1-lambda & -4 -2 & 1-lambda -4 -1 & -4 0 & 1-lambda
Os menores são
1-lambda & -4 -2 & 1-lambda =(1-lambda)^2-8, -1 & -4 0 & 1-lambda =-,(1-lambda)
Logo
det(A-lambda I3) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-8r]+4(1-lambda) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-4r]
Fatorando ainda,
det(A-lambda I3) =(1-lambda)l((1-lambda)-2r)l((1-lambda)+2r) =(1-lambda)(-1-lambda)(3-lambda)

Passo 4

O sistema (A-lambda I3)X=O tem solução única se, e só se, det(A-lambda I3)neq0.
Pelos fatores, det(A-lambda I3)=0 exatamente em
lambda=1,,-1,,3.
Portanto ele é SPD para todo lambdainR exceto -1,1,3.

Passo 5

Nos valores lambda=-1,1,3 temos det(A-lambda I3)=0, a matriz deixa de ser invertível e surge solução não trivial (SPI).

Resposta

(a)
(1-lambda)x+4y=0, -x+(1-lambda)y-4z=0, -2y+(1-lambda)z=0
(b) Não: o sistema é SPD exatamente quando
det(A-lambda I3)neq0, ou seja, para
lambdanotin-1,1,3.
(c) O sistema tem solução não trivial para
lambdain-1,1,3.

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