Decida quais afirmações são verdadeiras:
x-1<3 Long<=ftrightarrow(x-1)^2<9

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “ x-1<3 é logicamente equivalente a (x-1)^2<9” é verdadeira para todos os valores de x. O conteúdo envolvido é resolução de inequações e análise de equivalências lógicas; precisamos achar os conjuntos-solução de cada inequação e compará-los.

Passo 2

Resolvendo a inequação x-1<3:
x - 1 < 3
Para isolar x, somamos 1 em ambos os lados:
x < 4

Passo 3

Resolvendo a inequação (x-1)^2<9:
(x-1)^2 < 9
Essa é uma inequação do segundo grau do tipo u^2<9 com u=x-1. Sabemos que u^2<9 implica -3. Voltando a x:
-3 < x - 1 < 3
-3 + 1 < x < 3 + 1
-2 < x < 4

Passo 4

Comparando os conjuntos-solução:
O conjunto que satisfaz (x-1)^2<9 é (-2,4). O conjunto que satisfaz x-1<3 é (-infty,4). Como
(-2,4) ,subset, (-infty,4)
a implicação “ (x-1)^2<9 implica x-1<3” é sempre verdadeira.
Porém a implicação inversa “ x-1<3 implica (x-1)^2<9” falha quando x<= -2: por exemplo, se x=-3 temos x-1=-4<3 mas (x-1)^2=16 não é menor que 9. Então essa direção é falsa.

Passo 5

Logo a equivalência x-1<3iff (x-1)^2<9 não vale para todo x. Ela só é verdadeira exatamente quando -2, pois aí as duas inequações coincidem.

Resposta

A implicação (x-1)^2<9Rightarrow x-1<3 é verdadeira; a implicação x-1<3Rightarrow (x-1)^2<9 é falsa. Portanto a equivalência só se verifica para xin(-2,4).

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