Verifique que:
(raiz[3]x+1-raiz[3]x)(raiz[3](x+1)^2+raiz[3](x+1) x+raiz[3]x^2)=1, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão
(raiz[3]x+1-raiz[3]x)l(raiz[3](x+1)^2+raiz[3](x+1)x+raiz[3]x^2r)=1
vale para todo xinR.
O conteúdo principal que vamos usar é a identidade de fatoração da diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Passo 2

Passo 1: Definir variáveis
Vamos chamar
a = raiz[3]x+1, b = raiz[3]x

Passo 3

Dessa forma, a parte (raiz[3]x+1-raiz[3]x) vira (a - b), e a outra parte é
a^2 + ab + b^2

Passo 4

Passo 2: Aplicar a identidade de diferença de cubos
Pela identidade, temos
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Passo 5

Passo 3: Voltar às variáveis originais
Como a^3 = x+1 e b^3 = x, obtemos
a^3 - b^3 = (x+1) - x = 1

Passo 6

Portanto,
(raiz[3]x+1-raiz[3]x)(raiz[3](x+1)^2+raiz[3](x+1)x+raiz[3]x^2) = 1
para todo xinR.

Resposta

1

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