Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se
e
existem, então
também existe.
Se
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A afirmação diz que se os limites de $ f(x) $ e de $ f(x) + g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ p $ existem, então o limite de $ g(x) $ também existe. Para resolver isso, vamos lembrar sobre limites e como eles interagem com operações como a soma.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se $ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = A $ e $ \lim_{x \rightarrow p} \left( f(x) + g(x) \right) = B $, onde $ A $ e $ B $ são números reais, então queremos encontrar $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $.
Passo 3
Vamos lembrar que os limites têm uma propriedade de linearidade, ou seja:
Isso significa que o limite da soma é igual à soma dos limites, desde que ambos existam.
Passo 4
Usando essa propriedade, substituímos os valores conhecidos:
Passo 5
Agora, para encontrar $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $, basta isolar essa expressão na equação:
Resposta
A afirmação é verdadeira, já que $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $ existe e é igual a $ B - A $.