Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se lim x p f(x) e lim x p(f(x)+g(x)) existem, então lim x p g(x) também existe.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A afirmação diz que se os limites de $ f(x) $ e de $ f(x) + g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ p $ existem, então o limite de $ g(x) $ também existe. Para resolver isso, vamos lembrar sobre limites e como eles interagem com operações como a soma.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se $ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = A $ e $ \lim_{x \rightarrow p} \left( f(x) + g(x) \right) = B $, onde $ A $ e $ B $ são números reais, então queremos encontrar $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $.

Passo 3

Vamos lembrar que os limites têm uma propriedade de linearidade, ou seja:
limx p ( f(x) + g(x) ) = limx p f(x) + limx p g(x)
Isso significa que o limite da soma é igual à soma dos limites, desde que ambos existam.

Passo 4

Usando essa propriedade, substituímos os valores conhecidos:
B = A + limx p g(x)

Passo 5

Agora, para encontrar $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $, basta isolar essa expressão na equação:
limx p g(x)

Resposta

A afirmação é verdadeira, já que $ \lim_{x \rightarrow p} g(x) $ existe e é igual a $ B - A $.

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