Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se lim x p f(x) e lim x p g(x) não existem, então lim x p f(x) g(x) também não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidirmos se a afirmação “Se limx p f(x) e limx p g(x) não existem, então limx p f(x) g(x) também não existe” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com o conceito de limites em funções, especificamente observando o comportamento de duas funções quando os limites individuais não existem e o que acontece com o limite do produto dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que limx p f(x) e limx p g(x) não existem. Isso quer dizer que, ao aproximar x de p, as funções f(x) e g(x) não se aproximam de nenhum valor específico; elas podem oscilar ou se comportar de forma imprevisível.

Passo 3

A afirmação sugere que, se nenhum dos limites individuais existe, então o limite do produto f(x)g(x) também não existe. Para verificar se isso é sempre verdade, precisamos pensar se é possível que, mesmo com os limites individuais inexistentes, o produto das funções possa ter um limite definido.

Passo 4

Vamos considerar um contraexemplo, que é uma abordagem comum para mostrar que uma afirmação é falsa. Imagine que f(x) = sin(1/x) e g(x) = x. Vamos analisar o limite do produto dessas funções quando x se aproxima de 0.

Passo 5

Calculando os limites individuais:
  • limx 0 sin(1/x) não existe, pois o seno oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.
  • limx 0 x = 0, que existe.

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite do produto:
limx 0 sin(1/x) cdot x = limx 0 x cdot sin(1/x)
Sabemos que -x <= x cdot sin(1/x) <= x, e como x se aproxima de 0, tanto -x quanto x se aproximam de 0. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, o limite do produto também é 0.

Passo 7

Nesse caso, mesmo que o limite de f(x) = sin(1/x) não exista, o produto f(x)g(x) = x \cdot sin(1/x) tem um limite definido (que é 0). Isso mostra que a afirmação original não é verdadeira em geral.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que limx p f(x) e limx p g(x) não existam, o limite de f(x)g(x) pode existir.

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