Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se
e
não existem, então
também não existe.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidirmos se a afirmação “Se
e
não existem, então
também não existe” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com o conceito de limites em funções, especificamente observando o comportamento de duas funções quando os limites individuais não existem e o que acontece com o limite do produto dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
e
não existem. Isso quer dizer que, ao aproximar x de p, as funções f(x) e g(x) não se aproximam de nenhum valor específico; elas podem oscilar ou se comportar de forma imprevisível.
Passo 3
A afirmação sugere que, se nenhum dos limites individuais existe, então o limite do produto f(x)g(x) também não existe. Para verificar se isso é sempre verdade, precisamos pensar se é possível que, mesmo com os limites individuais inexistentes, o produto das funções possa ter um limite definido.
Passo 4
Vamos considerar um contraexemplo, que é uma abordagem comum para mostrar que uma afirmação é falsa. Imagine que f(x) = sin(1/x) e g(x) = x. Vamos analisar o limite do produto dessas funções quando x se aproxima de 0.
Passo 5
Calculando os limites individuais:
-
não existe, pois o seno oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor. -
, que existe.
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite do produto:
Sabemos que
, e como
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, o limite do produto também é 0.
Passo 7
Nesse caso, mesmo que o limite de f(x) = sin(1/x) não exista, o produto f(x)g(x) = x \cdot sin(1/x) tem um limite definido (que é 0). Isso mostra que a afirmação original não é verdadeira em geral.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que
e
não existam, o limite de
pode existir.