Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se lim x p f(x) e lim x p g(x) não existem, então lim x p(f(x)+g(x)) também não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se lim x p f(x) e lim x p g(x) não existem, então lim x p(f(x)+g(x)) também não existe.” Estamos entrando na área de limites, que faz parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender bem como funcionam os limites de funções e como eles se comportam quando somamos duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um limite não existe. Quando dizemos que lim x p f(x) não existe, pode ser por vários motivos, como a função oscilar infinitamente perto de p ou porque se aproxima de valores diferentes pela esquerda e pela direita. O mesmo vale para lim x p g(x).

Passo 3

Agora, a afirmação quer dizer que se ambos os limites individuais de f(x) e g(x) não existem quando x se aproxima de p, então o limite da soma dessas funções também não existe. Para ver se isso é sempre verdade, precisamos pensar se há algum caso onde, mesmo que os limites individuais não existam, a soma das funções tem um limite definido.

Passo 4

Vamos montar um contraexemplo! Imagine as seguintes funções:
  • f(x) = sin(1x - p)
  • g(x) = -sin(1x - p)
Essas funções são ótimas porque, à medida que x se aproxima de p, 1x - p tende ao infinito, e o seno de algo que vai ao infinito não tem limite, pois oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar.

Passo 5

Agora, vamos somar f(x) e g(x):
f(x) + g(x) = sin(1x - p) - sin(1x - p) = 0
A soma das duas funções resulta em zero para todo x diferente de p. Então, o limite de f(x) + g(x) quando x se aproxima de p é simplesmente 0.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que os limites individuais de f(x) e g(x) não existam, é possível que a soma f(x) + g(x) tenha um limite definido.

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