Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se
e
não existem, então
também não existe.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se
e
não existem, então
também não existe.” Estamos entrando na área de limites, que faz parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender bem como funcionam os limites de funções e como eles se comportam quando somamos duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um limite não existe. Quando dizemos que
não existe, pode ser por vários motivos, como a função oscilar infinitamente perto de
ou porque se aproxima de valores diferentes pela esquerda e pela direita. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, a afirmação quer dizer que se ambos os limites individuais de
e
não existem quando
se aproxima de
, então o limite da soma dessas funções também não existe. Para ver se isso é sempre verdade, precisamos pensar se há algum caso onde, mesmo que os limites individuais não existam, a soma das funções tem um limite definido.
Passo 4
Vamos montar um contraexemplo! Imagine as seguintes funções:
Essas funções são ótimas porque, à medida que
se aproxima de
,
tende ao infinito, e o seno de algo que vai ao infinito não tem limite, pois oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar.
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
A soma das duas funções resulta em zero para todo
diferente de
. Então, o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente 0.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que os limites individuais de
e
não existam, é possível que a soma
tenha um limite definido.