Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x +infty x+sen xx-sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+inftyx+sin xx-sin x. O conteúdo envolvido é limite de funções com termos oscilatórios ( sin x), e vamos precisar usar a ideia de fatorar x e o teorema do sanduíche para mostrar que sin x/xto0.

Passo 2

Fatorando x no numerador e no denominador, obtemos:
x+sin xx-sin x=xl(1+sin xxr)xl(1-sin xxr)=1+sin xx1-sin xx

Passo 3

Como sin x oscila entre -1 e 1, temos para x>0:
-1x<=sin xx<=1x
E como 1/xto0 quando xto+infty, pelo teorema do sanduíche segue que sin x/xto0.

Passo 4

Substituindo esse resultado na forma fatorada, o limite fica
limxto+infty1+sin xx1-sin xx=1+01-0=1

Resposta

1

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