Dê exemplos de duas funções
e
satisfazendo:
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de limites onde precisamos encontrar duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, que satisfazem duas condições:
- $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) \neq 0 $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e entender como as funções se comportam quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, a condição $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $ significa que, perto de $ x = 0 $, as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ crescem ou diminuem de forma similar. Ou seja, elas têm taxas de crescimento comparáveis nesse ponto.
Passo 3
A segunda condição, $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) \neq 0 $, indica que a diferença entre $ f(x) $ e $ g(x) $ não deve se aproximar de zero quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que, mesmo que as duas funções cresçam de forma similar, elas não podem ser exatamente iguais ou muito próximas uma da outra perto de $ x = 0 $.
Passo 4
Para satisfazer ambas as condições, podemos escolher uma função $ g(x) $ que tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0, e definir $ f(x) $ como $ g(x) $ mais uma constante. Por exemplo:
- Seja $ g(x) = \frac{1}{x} $
- Então, podemos definir $ f(x) = \frac{1}{x} + c $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero
Passo 5
Vamos verificar se essas funções satisfazem as condições:
- Calcular $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} $:
Então, a primeira condição é satisfeita.
- Calcular $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) $:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
Um exemplo é escolher $ g(x) = \frac{1}{x} $ e $ f(x) = \frac{1}{x} + c $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero.