Dê exemplos de duas funções f e g satisfazendo:
lim x 0 f(x)g(x)=1 e lim x 0(f(x)-g(x)) neq 0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de limites onde precisamos encontrar duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, que satisfazem duas condições:
  1. $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $
  2. $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) \neq 0 $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e entender como as funções se comportam quando $ x $ se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, a condição $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $ significa que, perto de $ x = 0 $, as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ crescem ou diminuem de forma similar. Ou seja, elas têm taxas de crescimento comparáveis nesse ponto.

Passo 3

A segunda condição, $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) \neq 0 $, indica que a diferença entre $ f(x) $ e $ g(x) $ não deve se aproximar de zero quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que, mesmo que as duas funções cresçam de forma similar, elas não podem ser exatamente iguais ou muito próximas uma da outra perto de $ x = 0 $.

Passo 4

Para satisfazer ambas as condições, podemos escolher uma função $ g(x) $ que tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0, e definir $ f(x) $ como $ g(x) $ mais uma constante. Por exemplo:
  • Seja $ g(x) = \frac{1}{x} $
  • Então, podemos definir $ f(x) = \frac{1}{x} + c $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero

Passo 5

Vamos verificar se essas funções satisfazem as condições:
  1. Calcular $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} $:
limx to 0 f(x)g(x)
Então, a primeira condição é satisfeita.
  1. Calcular $ \lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) $:
limx to 0 1x + c1x = limx to 0 (1 + c cdot x) = 1
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Um exemplo é escolher $ g(x) = \frac{1}{x} $ e $ f(x) = \frac{1}{x} + c $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero.

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