Decida se cada conjunto
dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades
e
que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
, com
ímpar
.
Passo 1
O enunciado pede: decidir se o conjunto
com a operação
dada por
forma um grupo; se não formar, indicar qual das propriedades
não é satisfeita; e verificar se, quando for grupo, ele é abeliano.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O conjunto
é composto por números racionais que têm uma representação com denominador ímpar. - A operação é a soma usual de números racionais: para
, .
Passo 2
O que precisamos verificar (as “peças” de um grupo, explicadas de modo simples):
- Fechamento: se
então . Aqui "pertencer a " significa que existe uma representação da soma com denominador ímpar. Vou mostrar isso de forma elementar. - Associatividade:
deve valer para todos . - Elemento neutro: existe
tal que para todo . - Inversos: para cada
existe tal que .
Além disso, para verificar se é abeliano, checamos a comutatividade.
Passo 3
Tomemos
e
com
e
ímpares (essa é a hipótese
). A soma é
Note que
e
são ímpares, logo o produto
é ímpar (produto de ímpares é ímpar). Pode ser que a fração
reduza por um divisor comum
. Mas qualquer divisor comum
de
e
divide
, que é ímpar, logo
é ímpar. Assim, ao cancelar
obtemos um denominador
que é quociente de dois inteiros ímpares, portanto também ímpar. Conclusão: a forma reduzida da soma tem denominador ímpar, isto é,
. Portanto a operação é fechada em
.
(Exemplo concreto para intuir:
e
é ímpar; se houvesse cancelamento, o denominador continuaria ímpar.)
Passo 4
A operação
é a soma usual de números racionais. A soma de inteiros/racionais é associativa, ou seja, para quaisquer
vale
Não há dependência do denominador ímpar aqui: a associatividade vem da propriedade da soma em
.
Passo 5
O elemento neutro para a soma é
. Observe que
pode ser escrito como
e
é ímpar, então
. Para todo
temos
logo existe elemento neutro em
.
Passo 6
Dado
com
ímpar, o inverso aditivo é
. Como
continua ímpar,
. E claramente
portanto todo elemento tem inverso em
.
Passo 7
Juntando os passos anteriores: fechadura, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos estão todos satisfeitos. Logo
é um grupo. Além disso, a operação é a soma usual, que é comutativa, então o grupo é abeliano.
Resposta
Sim.
é um grupo.
É abeliano.
É abeliano.