Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
G=\left\{\frac{x}{y}: x, y \in \mathbb{Z}\right., com y ímpar \right\}, \quad a \star b=a+b.

Passo 1

O enunciado pede: decidir se o conjunto G=\left\{\frac{x}{y}: x,y\in\mathbb{Z},\\ y\\ \text{ímpar}\right\}í com a operação \star dada por a\star b=a+b forma um grupo; se não formar, indicar qual das propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right),\left(\mathcal{G}_{3}\right) não é satisfeita; e verificar se, quando for grupo, ele é abeliano.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O conjunto G é composto por números racionais que têm uma representação com denominador ímpar.
  • A operação é a soma usual de números racionais: para a,b\in G, a\star b=a+b.

Passo 2

O que precisamos verificar (as “peças” de um grupo, explicadas de modo simples):
  1. Fechamento: se a,b\in G então a+b\in G. Aqui "pertencer a G" significa que existe uma representação da soma com denominador ímpar. Vou mostrar isso de forma elementar.
  2. Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) deve valer para todos a,b,c\in G.
  3. Elemento neutro: existe e\in G tal que a+e=a para todo a\in G.
  4. Inversos: para cada a\in G existe a^{-1}\in G tal que a+a^{-1}=e.
    Além disso, para verificar se é abeliano, checamos a comutatividade a+b=b+a.

Passo 3

Tomemos a=\dfrac{x}{y} e b=\dfrac{u}{v} com x,u\in\mathbb{Z} e y,v\in\mathbb{Z} ímpares (essa é a hipótese a,b\in G). A soma é
a+b=\frac{x}{y}+\frac{u}{v}=\frac{xv+uy}{yv}.
Note que y e v são ímpares, logo o produto yv é ímpar (produto de ímpares é ímpar). Pode ser que a fração \dfrac{xv+uy}{yv} reduza por um divisor comum g=\gcd(xv+uy,yv). Mas qualquer divisor comum g de xv+uy e yv divide yv, que é ímpar, logo g é ímpar. Assim, ao cancelar g obtemos um denominador
\frac{yv}{g}
que é quociente de dois inteiros ímpares, portanto também ímpar. Conclusão: a forma reduzida da soma tem denominador ímpar, isto é, a+b\in G. Portanto a operação é fechada em G.
(Exemplo concreto para intuir: \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{11}{15} e 15 é ímpar; se houvesse cancelamento, o denominador continuaria ímpar.)

Passo 4

A operação \star é a soma usual de números racionais. A soma de inteiros/racionais é associativa, ou seja, para quaisquer a,b,c\in G vale
(a\star b)\star c=(a+b)+c=a+(b+c)=a\star(b\star c).
Não há dependência do denominador ímpar aqui: a associatividade vem da propriedade da soma em \mathbb{Q}.

Passo 5

O elemento neutro para a soma é 0. Observe que 0 pode ser escrito como \dfrac{0}{1} e 1 é ímpar, então 0\in G. Para todo a\in G temos
a\star 0=a+0=a,
logo existe elemento neutro em G.

Passo 6

Dado a=\dfrac{x}{y}\in G com y ímpar, o inverso aditivo é -a=-\dfrac{x}{y}=\dfrac{-x}{y}. Como y continua ímpar, -a\in G. E claramente
a\star(-a)=a+(-a)=0,
portanto todo elemento tem inverso em G.

Passo 7

Juntando os passos anteriores: fechadura, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos estão todos satisfeitos. Logo (G,\star) é um grupo. Além disso, a operação é a soma usual, que é comutativa, então o grupo é abeliano.

Resposta

Sim. (G,\star) é um grupo.
É abeliano.

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