Decida se cada conjunto
dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades
e
que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(os racionais estritamente positivos) com a operação
definida por
O que se pede:
- Decidir se
é um grupo; se não for, indicar qual das propriedades não é satisfeita. - Verificar se o grupo (caso seja) é abeliano.
Informações dadas importantes:
- Elementos são todos os números racionais maiores que zero:
. - A operação combina
em .
Passo 2
Verificar a fechamento (pré-requisito básico): para toda
temos
e
porque dividir um racional positivo por
dá outro racional positivo. Logo a operação
fecha em
. (Isto garante que sempre que aplicamos
entre elementos de
o resultado permanece em
.)
Passo 3
Verificar associatividade (
): precisamos checar se
para todo
.
Calculemos o lado esquerdo:
Calculemos o lado direito:
Como os dois lados são iguais para quaisquer
, a operação é associativa. Portanto
é satisfeita.
Observação breve didática: a operação é essencialmente a multiplicação usual multiplicada por uma constante fixa
. Multiplicação usual é associativa, e o fator constante apenas escala o resultado, preservando a associatividade.
Passo 4
Verificar existência de elemento identidade (
): buscamos
tal que, para todo
,
Usando a definição,
Como
, podemos dividir por
e obter
Verificamos também
. O elemento
pertence a
. Portanto existe identidade e é
. Assim
é satisfeita.
Dica prática para prova: sempre resolva
em termos de
; se encontrar um número real que não pertença ao conjunto dado, então a propriedade falha.
Passo 5
Verificar existência de inversos (
): para um dado
, procuramos
tal que
Pela definição,
Como
, temos
. Assim todo
tem inverso
em
. Portanto
é satisfeita.
Pequena explicação: o inverso na operação
não é o inverso multiplicativo usual
, mas sim
porque a identidade
aqui é
, não
.
Passo 6
Conclusão sobre ser grupo: as três propriedades de grupo foram verificadas:
-
(associatividade): satisfeita. -
(existência de identidade): satisfeita com identidade . -
(existência de inversos): satisfeita com inverso de igual a .
Portanto
é de fato um grupo.
Passo 7
Verificar comutatividade (abelianidade): para todo
,
A operação é simétrica porque vem da multiplicação usual (que é comutativa) escalada por
. Logo o grupo é abeliano.
Resposta
Forma um grupo: Sim —
,
e
são satisfeitas (identidade
, inverso de
é
).
Abeliano: Sim.
Abeliano: Sim.