Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
G=\mathbb{Q}_{+}, \quad a \star b=\frac{a b}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathbb{Q}_{+} (os racionais estritamente positivos) com a operação \star definida por
a\star b=\frac{ab}{2}.
O que se pede:
  1. Decidir se \bigl(G,\star\bigr) é um grupo; se não for, indicar qual das propriedades \mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\mathcal{G}_3 não é satisfeita.
  2. Verificar se o grupo (caso seja) é abeliano.
Informações dadas importantes:
  • Elementos são todos os números racionais maiores que zero: \mathbb{Q}_{+}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0\}.
  • A operação combina a,b\in\mathbb{Q}_{+} em \dfrac{ab}{2}.

Passo 2

Verificar a fechamento (pré-requisito básico): para toda a,b\in\mathbb{Q}_{+} temos ab\in\mathbb{Q}_{+} e \dfrac{ab}{2}\in\mathbb{Q}_{+} porque dividir um racional positivo por 2 dá outro racional positivo. Logo a operação \star fecha em \mathbb{Q}_{+}. (Isto garante que sempre que aplicamos \star entre elementos de G o resultado permanece em G.)

Passo 3

Verificar associatividade ( \mathcal{G}_1): precisamos checar se (a\star b)\star c = a\star(b\star c) para todo a,b,c\in\mathbb{Q}_{+}.
Calculemos o lado esquerdo:
(a\star b)\star c=\left(\frac{ab}{2}\right)\star c=\frac{\left(\dfrac{ab}{2}\right)c}{2}=\frac{abc}{4}.
Calculemos o lado direito:
a\star(b\star c)=a\star\left(\frac{bc}{2}\right)=\frac{a\left(\dfrac{bc}{2}\right)}{2}=\frac{abc}{4}.
Como os dois lados são iguais para quaisquer a,b,c, a operação é associativa. Portanto \mathcal{G}_1 é satisfeita.
Observação breve didática: a operação é essencialmente a multiplicação usual multiplicada por uma constante fixa \tfrac{1}{2}. Multiplicação usual é associativa, e o fator constante apenas escala o resultado, preservando a associatividade.

Passo 4

Verificar existência de elemento identidade ( \mathcal{G}_2): buscamos e\in\mathbb{Q}_{+} tal que, para todo a\in\mathbb{Q}_{+},
a\star e=a \qquad\text{e}\qquad e\star a=a.
Usando a definição,
a\star e=\frac{ae}{2}=a \quad\Longrightarrow\quad \frac{ae}{2}=a.
Como a>0, podemos dividir por a e obter
\frac{e}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad e=2.
Verificamos também e\star a=\dfrac{2a}{2}=a. O elemento e=2 pertence a \mathbb{Q}_{+}. Portanto existe identidade e é 2. Assim \mathcal{G}_2 é satisfeita.
Dica prática para prova: sempre resolva a\star e=a em termos de e; se encontrar um número real que não pertença ao conjunto dado, então a propriedade falha.

Passo 5

Verificar existência de inversos ( \mathcal{G}_3): para um dado a\in\mathbb{Q}_{+}, procuramos b\in\mathbb{Q}_{+} tal que
a\star b=2 \quad\text{(identidade encontrada)}.
Pela definição,
\frac{ab}{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad ab=4 \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{4}{a}.
Como a\in\mathbb{Q}_{+}, temos \dfrac{4}{a}\in\mathbb{Q}_{+}. Assim todo a tem inverso a^{-1}_\star=\dfrac{4}{a} em G. Portanto \mathcal{G}_3 é satisfeita.
Pequena explicação: o inverso na operação \star não é o inverso multiplicativo usual 1/a, mas sim \dfrac{4}{a} porque a identidade \star aqui é 2, não 1.

Passo 6

Conclusão sobre ser grupo: as três propriedades de grupo foram verificadas:
  • \mathcal{G}_1 (associatividade): satisfeita.
  • \mathcal{G}_2 (existência de identidade): satisfeita com identidade 2.
  • \mathcal{G}_3 (existência de inversos): satisfeita com inverso de a igual a \dfrac{4}{a}.
Portanto \bigl(\mathbb{Q}_{+},\star\bigr) é de fato um grupo.

Passo 7

Verificar comutatividade (abelianidade): para todo a,b\in\mathbb{Q}_{+},
a\star b=\frac{ab}{2}=\frac{ba}{2}=b\star a.
A operação é simétrica porque vem da multiplicação usual (que é comutativa) escalada por \tfrac{1}{2}. Logo o grupo é abeliano.

Resposta

Forma um grupo: Sim — \mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2 e \mathcal{G}_3 são satisfeitas (identidade 2, inverso de a é \tfrac{4}{a}).
Abeliano: Sim.

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