Determinar as dimensões de um separador API para as águas residuárias oleosas de uma fábrica de fertilizantes, cuja vazũo máxìma é de 120 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, temperatura de 30{ }^{\circ} \mathrm{C}, densidade do óleo de 0,85 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} e o diâmetro dos glóbulos estimados \mathrm{em} 150 \mu \mathrm{~m}. Dados: Viscosidade 0,008 Poise; Densidade da água 0,996 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcular o tempo de residência no equipamento.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dimensione um separador API para águas residuárias oleosas e que calcule o tempo de residência no equipamento. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Vazão máxima: Q=120\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Temperatura: 30^\circ\mathrm{C} (usada indiretamente para validar propriedades).
  • Densidade do óleo: \rho_{o}=0{,}85\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Diâmetro dos glóbulos: d=150\\ \mu\mathrm{m}.
  • Viscosidade fornecida: \mu=0{,}008\\ \mathrm{P}.
  • Densidade da água: \rho_{w}=0{,}996\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Perguntas claras:
  1. Determinar as dimensões do separador (área de superfície e dimensões planas sugeridas).
  2. Calcular o tempo de residência no equipamento.

Passo 2

Como vamos resolver (resumindo a ideia, sem ainda calcular):
  • Para separadores API a condição de projeto base é que a velocidade superficial de escoamento (overflow rate) não seja maior que a velocidade terminal de subida das gotas de óleo; assim uma gota de diâmetro projetado d consegue alcançar a superfície antes de sair com o fluxo.
  • Para gotas pequenas (número de Reynolds pequeno) a velocidade terminal pode ser estimada pela lei de Stokes:
v = \frac{2(\rho_{w}-\rho_{o})\,g\,r^{2}}{9\mu}
onde:
  • v é a velocidade terminal (velocidade de subida) em \mathrm{m/s},
  • \rho_{w} e \rho_{o} são as densidades da água e do óleo em \mathrm{kg/m^{3}},
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • r é o raio da gota em metros ( r=d/2),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do meio contínuo (água) em \mathrm{Pa\cdot s}.
  • A área de superfície necessária do tanque é:
A=\frac{Q}{v},
pois a velocidade superficial é Q/A e deve ser \le v.
  • O volume do tanque será V=A\cdot H (com H profundidade escolhida). O tempo de residência é
t=\frac{V}{Q}=\frac{A\cdot H}{Q}=\frac{H}{v},
já que A=Q/v. Vou mostrar as conversões de unidades, calcular v, checar se Stokes é válido (ou seja, Re\ll 1), calcular A, propor dimensões L e B, escolher profundidade H razoável e então calcular t.

Passo 3

Conversão dos dados para unidades SI (passo a passo):
  • Vazão:
Q=\frac{120\\ \mathrm{m^{3}}}{\mathrm{h}}=\frac{120}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}033333\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Densidades (1 \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
\rho_{o}=0{,}85\\ \mathrm{g/cm^{3}}=850\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\rho_{w}=0{,}996\\ \mathrm{g/cm^{3}}=996\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Diâmetro e raio da gota:
d=150\\ \mu\mathrm{m}=150\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\quad r=\frac{d}{2}=75\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade (1 Poise = 0,1 Pa·s):
\mu=0{,}008\\ \mathrm{P}=0{,}008\times0{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=0{,}0008\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Cálculo da velocidade terminal pela lei de Stokes (mostrando cada termo):
A diferença de densidades:
\Delta \rho = \rho_{w}-\rho_{o}=996-850=146\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Aplicando Stokes:
v=\frac{2(\Delta\rho)\,g\,r^{2}}{9\mu} =\frac{2\cdot146\cdot9{,}81\cdot(75\times10^{-6})^{2}}{9\cdot0{,}0008}.
Vamos calcular passo a passo:
r^{2}=(75\times10^{-6})^{2}=5{,}625\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.
\text{numerador}=2\cdot146\cdot9{,}81\cdot5{,}625\times10^{-9}=1{,}6112925\times10^{-5}.
\text{denominador}=9\cdot0{,}0008=0{,}0072.
v=\frac{1{,}6112925\times10^{-5}}{0{,}0072}=0{,}00223735\\ \mathrm{m/s}\approx2{,}237\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação da validade de Stokes (número de Reynolds da gota):
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{w}\,v\,d}{\mu}=\frac{996\cdot0{,}00223735\cdot150\times10^{-6}}{0{,}0008}\approx0{,}418.
Como \mathrm{Re}\approx0{,}42<1, a hipótese de regime viscous (stokes) é aceitável — ótimo, a fórmula foi adequada.

Passo 5

Área de superfície exigida:
Usando A=Q/v:
A=\frac{0{,}033333\\ \mathrm{m^{3}/s}}{0{,}00223735\\ \mathrm{m/s}}=14{,}9049\\ \mathrm{m^{2}}\approx14{,}90\\ \mathrm{m^{2}}.
Interpretação: precisa-se de cerca de 14{,}9\\ \mathrm{m^{2}} de superfície horizontal para que gotas de 150\\ \mu\mathrm{m} tenham tempo de subir até a superfície sob esse carregamento.

Passo 6

Proposta de dimensões planas (forma retangular típica):
É comum em projetos escolher uma razão comprimento/largura L/B entre 3 e 6. Vou adotar uma relação conservadora L/B=3 (facilita circulação e manutenção). Assim:
A=L\cdot B,\quad L=3B \Rightarrow A=3B^{2}\Rightarrow B=\sqrt{\frac{A}{3}}.
Calculando:
B=\sqrt{\frac{14{,}9049}{3}}=\sqrt{4{,}9683}=2{,}2303\\ \mathrm{m}\approx2{,}23\\ \mathrm{m},
L=3B=6{,}6909\\ \mathrm{m}\approx6{,}69\\ \mathrm{m}.
Portanto dimensões planas sugeridas: L\approx6{,}69\\ \mathrm{m} e B\approx2{,}23\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Escolha da profundidade H e cálculo do tempo de residência:
Profundidades típicas de separadores API situam-se entre 1{,}0 e 2{,}5\\ \mathrm{m}. Vou adotar H=1{,}5\\ \mathrm{m} (valor prático, favorável para limpeza de sedimentos e operação). Com isso:
Volume do tanque:
V=A\cdot H=14{,}9049\cdot1{,}5=22{,}35735\\ \mathrm{m^{3}}.
Tempo de residência:
t=\frac{V}{Q}=\frac{22{,}35735\\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}033333\\ \mathrm{m^{3}/s}}=670{,}7205\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos e horas:
t\approx670{,}7\\ \mathrm{s}\approx11{,}18\\ \mathrm{min}\approx0{,}1863\\ \mathrm{h}.
Observação (fórmula útil): como A=Q/v, tem-se t=H/v. De fato:
t=\frac{H}{v}=\frac{1{,}5}{0{,}00223735}=670{,}7\\ \mathrm{s},
mesmo resultado — interpretação física direta: é o tempo que uma gota leva para subir a profundidade H à velocidade v.

Passo 8

Resumo das suposições e limitações (importante para a prova e para projeto real):
  • Usei a lei de Stokes (válida porque \mathrm{Re}<1).
  • Pressupus gotas esféricas e que não há coalescência intensa nem turbulência que altere muito a velocidade de subida.
  • Viscosidade usada é a dada; temperatura pode afetá-la.
  • Escolhi L/B=3 e H=1{,}5\\ \mathrm{m} como dimensões práticas; outro projetista pode escolher outra razão e profundidade dentro das faixas usuais, alterando L e B mantendo A.
  • Em projeto real recomenda-se verificar fluxo real, presença de sólidos, coalescedores, e adicionar margem de segurança.
Força: você já tem o procedimento completo para a prova — calcular v com Stokes, obter A por Q/v, escolher proporções e computar t=H/v. Vai dar certo!

Resposta

Área de superfície necessária: 14{,}90\\ \mathrm{m^{2}}
Dimensões planas sugeridas (razão L/B=3): L=6{,}69\\ \mathrm{m}, B=2{,}23\\ \mathrm{m}, adotando profundidade H=1{,}5\\ \mathrm{m}
Tempo de residência no equipamento: 670{,}7\\ \mathrm{s} \approx11{,}18\\ \mathrm{min}

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