Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(1,3,4) ; \quad v_{1}=(1,-2,-1), v_{2}=(3,2,5)

Passo 1

O enunciado pergunta se
u = (1,3,4)
pode ser gerado pelo conjunto \{v_{1},v_{2}\}, onde
v_{1} = (1,-2,-1),\quad v_{2} = (3,2,5).
O conteúdo a usar é combinação linear e resolução de um sistema de equações para encontrar escalares a e b tais que
a\,v_{1} + b\,v_{2} = u.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear, obtemos
a\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix} \;+\; b\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
o que gera o sistema linear
\begin{cases} a + 3b = 1,\\\\ -2a + 2b = 3,\\\\ -\,a + 5b = 4. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = 1 - 3b.
Substituindo na segunda equação:
-2(1 - 3b) + 2b = 3 \;\Longrightarrow\; -2 + 6b + 2b = 3 \;\Longrightarrow\; 8b = 5 \;\Longrightarrow\; b = \frac{5}{8}.

Passo 4

Substituindo b = \tfrac{5}{8} em a = 1 - 3b:
a = 1 - 3\cdot\frac{5}{8} = \frac{8 - 15}{8} = -\frac{7}{8}.

Passo 5

Verificamos a terceira equação com esses valores:
-\,a + 5b = -\Bigl(-\tfrac{7}{8}\Bigr) + 5\cdot\tfrac{5}{8} = \frac{7}{8} + \frac{25}{8} = \frac{32}{8} = 4,
logo o sistema é consistente.

Passo 6

Concluímos que existe solução (a,b) e, portanto, u pertence ao espaço gerado por v_{1},v_{2}.

Resposta

u = -\frac{7}{8}\,v_{1} \;+\;\frac{5}{8}\,v_{2}.

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