Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(3,2) ; \quad v_{1}=(1,2), v_{2}=(7,3), v_{3}=(5,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
u = (3,2)
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
v_{1}=(1,2),\quad v_{2}=(7,3),\quad v_{3}=(5,0),
isto é, se existe escolha de escalares a,b,c tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=u.
O conteúdo principal aqui é o conceito de span (geração de vetores) e a resolução de um sistema linear para encontrar a,b,c.

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando coordenadas, temos o sistema
\begin{cases} a + 7b + 5c = 3,\\\\ 2a + 3b = 2. \end{cases}
A segunda equação não envolve c, então podemos usá-la primeiro para expressar a em função de b.

Passo 3

Da equação
2a + 3b = 2
segue
a = \frac{2 - 3b}{2}.
Substituindo esse a na primeira equação,
\frac{2 - 3b}{2} + 7b + 5c = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 3b + 14b + 10c = 6 \quad\Longrightarrow\quad 11b + 10c = 4.
Assim
b = \frac{4 - 10c}{11}, \quad a = \frac{2 - 3b}{2} = \frac{5 + 15c}{11}.
Isso mostra que existe solução para todo c, ou seja, infinitas maneiras de representar u.

Passo 4

Para ficar simples, escolhemos c=0. Então
b = \frac{4}{11}, \quad a = \frac{5}{11},
e obtemos
u = \frac{5}{11}\,v_{1} + \frac{4}{11}\,v_{2} + 0\cdot v_{3}.
Portanto u pertence ao span \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.

Resposta

u = \frac{5}{11}\,v_{1} + \frac{4}{11}\,v_{2}.

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