Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(1,2) ; \quad v_{1}=(1,2), v_{2}=(-2,3)

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \,u=(1,2) e os geradores \,v_{1}=(1,2) e \,v_{2}=(-2,3). Queremos ver se \,u pertence ao espaço gerado por \{v_{1},v_{2}\}, isto é, se existem escalares a e b tais que
a\,v_{1} + b\,v_{2} = u.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
a\,(1,2) + b\,(-2,3) = (1,2),
o que equivale ao sistema
\begin{cases} a - 2b = 1,\\\\ 2a + 3b = 2. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue a = 1 + 2b. Substituindo na segunda:
2(1+2b) + 3b = 2 \;\implies\; 2 + 4b + 3b = 2 \;\implies\; 7b = 0 \;\implies\; b = 0.
Logo a = 1 + 2\cdot0 = 1.

Resposta

u = 1\,v_{1} + 0\,v_{2}.

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