Decida se o campo vetorial
dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se o campo vetorial
é conservativo e, se for o caso, que encontremos uma função potencial
. O campo dado é
Vou chamar a primeira componente de
e a segunda de
. Assim:
Perguntas explícitas: 1)
é conservativo? 2) Se sim, encontre uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Regra prática (explicada passo a passo): para um campo
definido numa região aberta e simplesmente conexa do plano, uma condição prática e suficiente para
ser conservativo é
em toda a região. Por que isso funciona? Rápido resumo intuitivo: se existe
com
e
, então as derivadas mistas de
satisfazem
, o que dá exatamente
. O fato de a região ser simplesmente conexa (sem “buracos”) garante que essa condição é também suficiente — evita caminhos fechados com circulação não-nula.
Observação: nosso campo está definido para todo
, que é aberto e simplesmente conexo, então podemos usar essa condição com segurança.
Passo 3
Calcule
. Começando de
ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Passo 4
Calcule
. Começando de
ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Passo 5
Compare as derivadas mistas: obtivemos
Como são iguais para todo
e o domínio é
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo. Agora vamos achar explicitamente a função potencial
.
Passo 6
Procurando
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Aqui
é tratado como constante, então
Lembrando que
, temos
Portanto, a integral em
dá
onde
é uma função de
(constante em relação a
) que ainda precisamos determinar.
Passo 7
Usamos a condição
. Diferenciando a expressão encontrada em relação a
:
Igualamos a
:
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Integrando em
,
onde
é constante real.
Passo 8
Assim a função potencial é
Verificação rápida (para ficar tranquilo na hora da prova): calcule
logo
como desejado.
Resposta
Sim.