Decida se o campo vetorial \vec{F} dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para \vec{F}.
\vec{F}(x, y)=\left(-2 y^{3} \cdot \operatorname{sen} x, 6 y^{2} \cdot \cos x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se o campo vetorial \vec{F} é conservativo e, se for o caso, que encontremos uma função potencial f. O campo dado é
\vec{F}(x,y)=\big(-2y^{3}\cdot\operatorname{sen} x,\;6y^{2}\cdot\cos x+5\big).
Vou chamar a primeira componente de P(x,y) e a segunda de Q(x,y). Assim:
P(x,y)=-2y^{3}\operatorname{sen} x, \qquad Q(x,y)=6y^{2}\cos x+5.
Perguntas explícitas: 1) \vec{F} é conservativo? 2) Se sim, encontre uma função potencial f tal que \nabla f=\vec{F}.

Passo 2

Regra prática (explicada passo a passo): para um campo \vec{F}=(P,Q) definido numa região aberta e simplesmente conexa do plano, uma condição prática e suficiente para \vec{F} ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em toda a região. Por que isso funciona? Rápido resumo intuitivo: se existe f com f_x=P e f_y=Q, então as derivadas mistas de f satisfazem f_{xy}=f_{yx}, o que dá exatamente \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. O fato de a região ser simplesmente conexa (sem “buracos”) garante que essa condição é também suficiente — evita caminhos fechados com circulação não-nula.
Observação: nosso campo está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, que é aberto e simplesmente conexo, então podemos usar essa condição com segurança.

Passo 3

Calcule \partial P/\partial y. Começando de
P(x,y)=-2y^{3}\operatorname{sen} x,
ao derivar em relação a y tratamos \operatorname{sen} x como constante:
\frac{\partial P}{\partial y}=-2\operatorname{sen} x\cdot\frac{d}{dy}(y^{3})=-2\operatorname{sen} x\cdot 3y^{2}=-6y^{2}\operatorname{sen} x.

Passo 4

Calcule \partial Q/\partial x. Começando de
Q(x,y)=6y^{2}\cos x+5,
ao derivar em relação a x tratamos y como constante:
\frac{\partial Q}{\partial x}=6y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)+\frac{d}{dx}(5)=6y^{2}(-\operatorname{sen} x)+0=-6y^{2}\operatorname{sen} x.

Passo 5

Compare as derivadas mistas: obtivemos
\frac{\partial P}{\partial y}=-6y^{2}\operatorname{sen} x \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=-6y^{2}\operatorname{sen} x.
Como são iguais para todo (x,y) e o domínio é \mathbb{R}^{2} (simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo. Agora vamos achar explicitamente a função potencial f.

Passo 6

Procurando f tal que f_x=P e f_y=Q. Integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int -2y^{3}\operatorname{sen} x\,dx.
Aqui y é tratado como constante, então
\int -2y^{3}\operatorname{sen} x\,dx=-2y^{3}\int \operatorname{sen} x\,dx.
Lembrando que \int \operatorname{sen} x\,dx=-\cos x, temos
-2y^{3}\cdot(-\cos x)=2y^{3}\cos x.
Portanto, a integral em x
f(x,y)=2y^{3}\cos x + h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante em relação a x) que ainda precisamos determinar.

Passo 7

Usamos a condição f_y=Q. Diferenciando a expressão encontrada em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(2y^{3}\cos x + h(y)\big)=6y^{2}\cos x + h'(y).
Igualamos a Q(x,y):
6y^{2}\cos x + h'(y)=6y^{2}\cos x + 5.
Cancelando 6y^{2}\cos x dos dois lados, obtemos
h'(y)=5.
Integrando em y,
h(y)=5y + C,
onde C é constante real.

Passo 8

Assim a função potencial é
f(x,y)=2y^{3}\cos x + 5y + C.
Verificação rápida (para ficar tranquilo na hora da prova): calcule
f_x=-2y^{3}\operatorname{sen} x=P(x,y) \quad\text{e}\quad f_y=6y^{2}\cos x +5=Q(x,y),
logo \nabla f=\vec{F} como desejado.

Resposta

Sim. \;f(x,y)=2y^{3}\cos x+5y+C

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