Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD :
\{(-1,1,-1),(3,6,3),(-1,0,2)\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (-1,1,-1),\quad v_2 = (3,6,3),\quad v_3 = (-1,0,2),
e pede para decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
Conteúdo: independência linear em \mathbb{R}^3. Vamos usar o critério do determinante: se a matriz que tem esses vetores como colunas tiver determinante não nulo, então o conjunto é LI.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\\\ 1 & 6 & 0\\\\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Teorema: em \mathbb{R}^3, vetores são LI se, e somente se, \det(A)\neq0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão de primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}6 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} -3\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 2\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 6\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}6 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =6\cdot2-0\cdot3=12,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-0\cdot(-1)=2,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 6\\\ -1 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3-6\cdot(-1)=3+6=9.
Substituindo em \det(A):
\det(A)=-1\cdot12-3\cdot2+(-1)\cdot9=-12-6-9=-27.

Passo 4

Como \det(A)=-27\neq0, a matriz é invertível e, portanto, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (LI).

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