Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD :
\{(2,3,1),(7,-2,3),(-3,8,-2)\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

Temos três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(2,3,1),\quad v_2=(7,-2,3),\quad v_3=(-3,8,-2),
e queremos verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, basta ver se a única solução de
c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = (0,0,0)
é c_1=c_2=c_3=0. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calcular seu determinante: se for diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 2

Formamos a matriz A com esses vetores como colunas:
A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & -3\\\\ 3 & -2 & 8\\\\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0, então \{v_1,v_2,v_3\} é LI.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =2\det\!\begin{pmatrix}-2 & 8\\\ 3 & -2\end{pmatrix} -7\det\!\begin{pmatrix}3 & 8\\\ 1 & -2\end{pmatrix} +(-3)\det\!\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & 8\\\ 3 & -2\end{pmatrix} =(-2)(-2)-8\cdot3=4-24=-20,
\det\begin{pmatrix}3 & 8\\\ 1 & -2\end{pmatrix} =3\cdot(-2)-8\cdot1=-6-8=-14,
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =3\cdot3-(-2)\cdot1=9+2=11.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-20)-7\cdot(-14)-3\cdot11 =-40+98-33=25.

Passo 4

Como \det(A)=25\neq 0, a única solução de c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=0 é c_1=c_2=c_3=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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