Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD :
\{(1,2,1),(3,6,3),(-1,0,2)\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores (1,2,1),\;(3,6,3) e (-1,0,2) em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto é LD se existir combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Pela definição, o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é LD se houver escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos nulos, tais que
\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 + \gamma\,v_3 = (0,0,0).

Passo 3

Observe que
(3,6,3) = 3\,(1,2,1).
Isto é, v_2 = 3\,v_1. Logo podemos tomar \alpha=3, \beta=-1 e \gamma=0 para obter
3\,(1,2,1) \;-\;1\,(3,6,3)\;+\;0\,(-1,0,2)\;=\;(0,0,0),
uma combinação não trivial.

Passo 4

Como já existe uma relação linear não trivial entre os vetores, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é LD (linearmente dependente).

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