Decida quais conjuntos S são subespaços vetoriais do espaço vetorial V dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
S=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): a=d\right. e \left.b=-c\right\} e V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) é o conjunto das matrizes de ordem 2 \times 2 com entradas reais.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.
Dados fornecidos:
S=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}): a=d\\ \text{e}\\ b=-c\right\}
V=M_{2\times2}(\mathbb{R})
Ou seja, S é o conjunto de todas as matrizes 2\times2 reais cuja entrada superior esquerda é igual à inferior direita e cuja entrada superior direita é o negativo da inferior esquerda. A tarefa é decidir se S é subespaço de V; se não for, identificar qual propriedade falha com um contra-exemplo.

Passo 2

Lembraremos da definição prática de subespaço vetorial (não precisa decorar complicado, só três checagens): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W não é vazio (normalmente mostramos que a matriz zero está em W);
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer X,Y\in W, tem-se X+Y\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer X\in W, tem-se \lambda X\in W.
Vou aplicar essas três checagens diretamente em S. Sempre que eu escrever uma matriz genérica de S, vou colocá‑la na forma explícita para facilitar as contas.

Passo 3

Checagem 1 — S não é vazio: mostrar que a matriz zero está em S.
A matriz zero é
\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a=0, d=0 então a=d, e b=0, c=0 então b=-c (pois 0=-0). Logo \mathbf{0}\in S. Portanto S não é vazio.

Passo 4

Checagem 2 — fechamento por adição: pegue duas matrizes quaisquer de S e some-as.
Sejam
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in S \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}a' & b' \\\ c' & d'\end{pmatrix}\in S.
Pelo fato de A\in S sabemos a=d e b=-c. Pelo fato de B\in S sabemos a'=d' e b'=-c'.
Calcule a soma:
A+B=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix}.
Agora verificamos as duas condições:
  • A condição de diagonal: como a=d e a'=d', temos a+a' = d+d'. Logo a entrada superior esquerda da soma é igual à inferior direita da soma.
  • A condição antissimétrica off-diagonal: como b=-c e b'=-c', somando obtemos b+b' = -(c+c'). Ou seja, a entrada superior direita da soma é o negativo da inferior esquerda.
Portanto A+B satisfaz as mesmas relações e assim A+B\in S. Concluímos que S é fechado sob adição.

Passo 5

Checagem 3 — fechamento por multiplicação por escalares: pegue \lambda\in\mathbb{R} e A\in S. Verifique \lambda A\in S.
Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in S,
com a=d e b=-c. Então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Como a=d temos \lambda a=\lambda d, e como b=-c temos \lambda b = -\lambda c. Assim \lambda A também satisfaz as duas condições que definem S. Logo \lambda A\in S para todo \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 6

Conclusão das checagens: mostramos que S contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, por definição, S é um subespaço vetorial de V.
Agora, para entender melhor a estrutura de S (útil na prova), vou caracterizá‑lo explicitamente: uma matriz genérica de S tem a forma
\begin{pmatrix}a & b \\\\ -b & a\end{pmatrix},
onde a,b\in\mathbb{R}. Isso mostra que qualquer elemento de S pode ser escrito como combinação linear
\begin{pmatrix}a & b \\\\ -b & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Defina
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Assim S=\operatorname{span}\{E_1,E_2\}. Os vetores E_1 e E_2 são linearmente independentes (fácil checar: se \alpha E_1+\beta E_2=0 então olhando às entradas obtemos \alpha=0 e \beta=0). Logo \{E_1,E_2\} é uma base de S e \dim S=2. Isso também mostra intuivelmente que S é isomorfo a \mathbb{R}^2 (cada matriz corresponde ao par (a,b)).

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar: escolha
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}\in S,\qquad B=\begin{pmatrix}3 & -1 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}\in S.
Então
A+B=\begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}\in S,
e para \lambda=5,
5A=\begin{pmatrix}5 & 10 \\\\ -10 & 5\end{pmatrix}\in S.
Isto ilustra concretamente as propriedades que provamos.

Resposta

\,S\, é um subespaço vetorial de \,V\,.

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