Decida quais conjuntos S são subespaços vetoriais do espaço vetorial V dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo. S=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): a=d\right. e \left.b=-c\right\} e V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) é o conjunto das matrizes de ordem 2 \times 2 com entradas reais.
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.
Dados fornecidos:
S=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}): a=d\\ \text{e}\\ b=-c\right\}
V=M_{2\times2}(\mathbb{R})
Ou seja, S é o conjunto de todas as matrizes 2\times2 reais cuja entrada superior esquerda é igual à inferior direita e cuja entrada superior direita é o negativo da inferior esquerda. A tarefa é decidir se S é subespaço de V; se não for, identificar qual propriedade falha com um contra-exemplo.
Passo 2
Lembraremos da definição prática de subespaço vetorial (não precisa decorar complicado, só três checagens): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
W não é vazio (normalmente mostramos que a matriz zero está em W);
W é fechado sob adição: para quaisquer X,Y\in W, tem-se X+Y\in W;
W é fechado sob multiplicação por escalares: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer X\in W, tem-se \lambda X\in W.
Vou aplicar essas três checagens diretamente em S. Sempre que eu escrever uma matriz genérica de S, vou colocá‑la na forma explícita para facilitar as contas.
Passo 3
Checagem 1 — S não é vazio: mostrar que a matriz zero está em S.
A condição de diagonal: como a=d e a'=d', temos a+a' = d+d'. Logo a entrada superior esquerda da soma é igual à inferior direita da soma.
A condição antissimétrica off-diagonal: como b=-c e b'=-c', somando obtemos b+b' = -(c+c'). Ou seja, a entrada superior direita da soma é o negativo da inferior esquerda.
Portanto A+B satisfaz as mesmas relações e assim A+B\in S. Concluímos que S é fechado sob adição.
Passo 5
Checagem 3 — fechamento por multiplicação por escalares: pegue \lambda\in\mathbb{R} e A\in S. Verifique \lambda A\in S.
Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in S,
com a=d e b=-c. Então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Como a=d temos \lambda a=\lambda d, e como b=-c temos \lambda b = -\lambda c. Assim \lambda A também satisfaz as duas condições que definem S. Logo \lambda A\in S para todo \lambda\in\mathbb{R}.
Passo 6
Conclusão das checagens: mostramos que S contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, por definição, S é um subespaço vetorial de V.
Agora, para entender melhor a estrutura de S (útil na prova), vou caracterizá‑lo explicitamente: uma matriz genérica de S tem a forma
\begin{pmatrix}a & b \\\\ -b & a\end{pmatrix},
onde a,b\in\mathbb{R}. Isso mostra que qualquer elemento de S pode ser escrito como combinação linear
Assim S=\operatorname{span}\{E_1,E_2\}. Os vetores E_1 e E_2 são linearmente independentes (fácil checar: se \alpha E_1+\beta E_2=0 então olhando às entradas obtemos \alpha=0 e \beta=0). Logo \{E_1,E_2\} é uma base de S e \dim S=2. Isso também mostra intuivelmente que S é isomorfo a \mathbb{R}^2 (cada matriz corresponde ao par (a,b)).