Decida quais conjuntos
são subespaços vetoriais do espaço vetorial
dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e o espaço vetorial
:
A pergunta é: decidir se
é subespaço vetorial de
. Se não for, devo indicar qual propriedade dos subespaços falha e fornecer um contra-exemplo.
Passo 2
Vou relembrar de forma bem didática o que é preciso para que um subconjunto
seja subespaço vetorial de
. Uma forma prática e suficiente é verificar três propriedades:
-
não é vazio (em particular, normalmente exige-se que o vetor nulo de pertença a ). - Fechamento sob adição: para quaisquer
, tem-se . - Fechamento sob multiplicação por escalar: para qualquer
e qualquer , tem-se .
Explicando por que a presença do vetor nulo é importante: o vetor nulo de
é
. Se um subconjunto
não contém
, então ele não pode ser subespaço, porque subespaços sempre contêm o nulo (pense:
para qualquer
, logo se
fosse subespaço teria que conter
). Portanto, checar se o vetor nulo está em
é um teste rápido.
Passo 3
Vamos checar se o vetor nulo
pertence a
.
Um vetor genérico de
tem a forma
para algum
. A primeira coordenada desse vetor é sempre
. Já o vetor nulo tem primeira coordenada
. Para que
fosse possível precisaríamos ter
, o que é absurdo.
Portanto não existe
tal que
. Conclusão: o vetor nulo
não pertence a
.
Passo 4
Como vimos no passo anterior, a propriedade “contém o vetor nulo” falha. Isso já é suficiente para concluir que
não é subespaço vetorial de
.
Vou também mostrar de maneira bem direta que o fechamento por escalares falha (isso fornece um contra-exemplo concreto adicional, muito útil na prova): tome um vetor de
com
:
Escolha o escalar
. Então
Para que
estivesse em
müsste existir algum
com
. Mas isso exigiria
, impossível. Logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Também é fácil ver que o fechamento por adição falha: se
e
, então
cuja primeira coordenada é
, diferente de
. Logo
. Exemplo numérico: com
e
,
Passo 6
Resumo didático e motivador: a razão fundamental pela qual
não é subespaço é simples e intuitiva — todos os vetores de
têm primeira coordenada fixa igual a
. Subespaços, entretanto, devem conter o vetor nulo (que tem primeira coordenada
) e também devem ser estáveis por multiplicação por escalares (o que mudaria a primeira coordenada, a menos que o escalar seja
). Essas inconsistências mostram claramente que
falha nas propriedades necessárias.
Resposta
Não —
não é subespaço de
. Falha: não contém o vetor nulo
(pois toda tupla em
tem primeira coordenada igual a
). Contra-exemplo:
.
Também falha o fechamento por escalar: por exemplo .
Também falha o fechamento por escalar: por exemplo