Decida quais conjuntos
são subespaços vetoriais do espaço vetorial
dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
é o conjunto dos vetores
de
, em que três de suas coordenadas, em qualquer posição, são iguais. Aqui
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
formado por todos os vetores
em que três de suas coordenadas, em qualquer posição, são iguais. O espaço ambiente é
. A pergunta é: decidir se
é subespaço vetorial de
. Se não for, indicar qual propriedade de subespaço falha e dar um contra-exemplo.
Passo 2
Lembrete didático: para que um subconjunto
seja subespaço vetorial, precisam valer três propriedades (equivalentes a definir subespaço):
-
não é vazio (suficiente mostrar que ). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando em palavras simples: a primeira garante que existe o vetor nulo; a segunda diz que somar dois vetores do conjunto não pode produzir um vetor fora do conjunto; a terceira diz que multiplicar por qualquer número real também não pode produzir um vetor fora do conjunto. Para provar que
não é subespaço basta encontrar uma dessas propriedades que falha (com contra-exemplo).
Passo 3
Verifico a propriedade 1 (não vazio). O vetor nulo
tem todas as coordenadas iguais, logo tem três coordenadas iguais. Portanto
. Assim
não é vazio.
Passo 4
Vou checar a propriedade 3 (fechamento por multiplicação escalar) de forma geral. Se
então existem três índices onde as coordenadas são iguais, digamos sem perder generalidade que
(o argumento é análogo para outras posições). Para qualquer
temos
e claramente
, então
também tem três coordenadas iguais. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar (esta propriedade segura-se por uma razão simples: multiplicar por escalar preserva igualdades entre coordenadas).
Passo 5
Agora verifico a propriedade 2 (fechamento por adição). Vou tentar um contra-exemplo concreto — essa é a estratégia típica: escolher dois vetores em
e somá-los, ver se o resultado permanece em
.
Escolho
. Nesse vetor três coordenadas são iguais (as três primeiras valem
), então
.
Escolho
. Nesse vetor também três coordenadas são iguais (as três últimas valem
), então
.
Escolho
Agora somo:
Observe as coordenadas de
: são
. Contando multiplicidades, há duas coordenadas iguais a
e duas coordenadas iguais a
, mas não existe nenhum valor que apareça em pelo menos três posições. Logo
.
Portanto a propriedade de fechamento por adição falha.
Passo 6
Conclusão: como
não é fechado sob adição (temos o contra-exemplo acima),
não é subespaço vetorial de
. A falha decorre especificamente da não-veisibilidade sob soma; a multiplicação por escalar, no entanto, é preservada.