Decida quais conjuntos S são subespaços vetoriais do espaço vetorial V dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
S é o conjunto dos vetores (x, y, z, w) de \mathbb{R}^{4}, em que três de suas coordenadas, em qualquer posição, são iguais. Aqui V=\mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S formado por todos os vetores (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4} em que três de suas coordenadas, em qualquer posição, são iguais. O espaço ambiente é V=\mathbb{R}^{4}. A pergunta é: decidir se S é subespaço vetorial de V. Se não for, indicar qual propriedade de subespaço falha e dar um contra-exemplo.

Passo 2

Lembrete didático: para que um subconjunto S\subseteq V seja subespaço vetorial, precisam valer três propriedades (equivalentes a definir subespaço):
  1. S não é vazio (suficiente mostrar que \mathbf{0}\in S).
  2. S é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in S e \mathbf{v}\in S então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{u}\in S.
Explicando em palavras simples: a primeira garante que existe o vetor nulo; a segunda diz que somar dois vetores do conjunto não pode produzir um vetor fora do conjunto; a terceira diz que multiplicar por qualquer número real também não pode produzir um vetor fora do conjunto. Para provar que S não é subespaço basta encontrar uma dessas propriedades que falha (com contra-exemplo).

Passo 3

Verifico a propriedade 1 (não vazio). O vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0) tem todas as coordenadas iguais, logo tem três coordenadas iguais. Portanto \mathbf{0}\in S. Assim S não é vazio.

Passo 4

Vou checar a propriedade 3 (fechamento por multiplicação escalar) de forma geral. Se \mathbf{u}=(x,y,z,w)\in S então existem três índices onde as coordenadas são iguais, digamos sem perder generalidade que x=y=z (o argumento é análogo para outras posições). Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} temos \alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha w) e claramente \alpha x=\alpha y=\alpha z, então \alpha\mathbf{u} também tem três coordenadas iguais. Portanto S é fechado sob multiplicação por escalar (esta propriedade segura-se por uma razão simples: multiplicar por escalar preserva igualdades entre coordenadas).

Passo 5

Agora verifico a propriedade 2 (fechamento por adição). Vou tentar um contra-exemplo concreto — essa é a estratégia típica: escolher dois vetores em S e somá-los, ver se o resultado permanece em S.
Escolho
\mathbf{u}=(1,1,1,0). Nesse vetor três coordenadas são iguais (as três primeiras valem 1), então \mathbf{u}\in S.
Escolho
\mathbf{v}=(0,1,1,1). Nesse vetor também três coordenadas são iguais (as três últimas valem 1), então \mathbf{v}\in S.
Agora somo:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,1,0)+(0,1,1,1)=(1,2,2,1).
Observe as coordenadas de \mathbf{u}+\mathbf{v}: são 1,2,2,1. Contando multiplicidades, há duas coordenadas iguais a 1 e duas coordenadas iguais a 2, mas não existe nenhum valor que apareça em pelo menos três posições. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin S.
Portanto a propriedade de fechamento por adição falha.

Passo 6

Conclusão: como S não é fechado sob adição (temos o contra-exemplo acima), S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. A falha decorre especificamente da não-veisibilidade sob soma; a multiplicação por escalar, no entanto, é preservada.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Falha: não é fechado sob adição. Contraexemplo: \mathbf{u}=(1,1,1,0)\in S, \mathbf{v}=(0,1,1,1)\in S, mas \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,2,2,1)\notin S.

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