Decida quais conjuntos S são subespaços vetoriais do espaço vetorial V dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y=0\right. e \left.z-w=0\right\} e V=\mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
S=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 : x+y=0 \text{ e } z-w=0\right\}
é um subespaço vetorial do espaço vetorial V=\mathbb{R}^4\). Informações dadas, explícitas: \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] z-w=0, \end{cases}
ou seja, cada vetor de S\] satisfaz essas duas equações lineares. A tarefa é: decidir se \(S é subespaço de \mathbb{R}^4; se não for, apontar qual propriedade falha e dar um contra-exemplo.]

Passo 2

Vamos lembrar (de forma direta e prática) o que precisamos checar para um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^4 ser subespaço:
  1. O vetor nulo (0,0,0,0) pertence a S.
  2. Fechamento por soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Essas três condições são suficientes e necessárias. Vou checar cada uma explicitamente com cálculos bem claros.

Passo 3

Verificar se o vetor nulo está em S.
O vetor nulo é (0,0,0,0). Substituindo nas equações:
0+0=0\quad\text{e}\quad 0-0=0,
ambas verdadeiras. Logo (0,0,0,0)\in S.
Comentário didático curto: é sempre um bom primeiro teste — se o zero não estiver no conjunto, já deu fail.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1,w_1)\in S\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2,w_2)\in S.
Pelo fato de pertencerem a S sabemos que
x_1+y_1=0,\quad z_1-w_1=0,
x_2+y_2=0,\quad z_2-w_2=0.
Agora somamos coordenada a coordenada:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;w_1+w_2).
Checamos as equações para u+v:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0,
(z_1+z_2)-(w_1+w_2)=(z_1-w_1)+(z_2-w_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas condições e assim u+v\in S. Fechamento por soma verificado.
Didática: a soma preserva as equações lineares porque as exigências são expressas por soma/diferença linear das coordenadas.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tome \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,w)\in S, então
x+y=0\quad\text{e}\quad z-w=0.
Considere \alpha u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha w). Verificamos:
\alpha x+\alpha y=\alpha(x+y)=\alpha\cdot 0=0,
\alpha z-\alpha w=\alpha(z-w)=\alpha\cdot 0=0.
Portanto \alpha u\in S. Fechamento por escalar verificado.
Didática: multiplicar por escalar simplesmente escala as igualdades lineares — se a soma era zero, escala também dá zero.

Passo 6

Mostrar uma descrição paramétrica e identificar uma base (ajuda a entender estrutura e dimensão).
Das equações dadas podemos escrever explicitamente as dependências:
x+y=0\implies y=-x,
z-w=0\implies w=z.
Logo um vetor arbitrário de S tem a forma
(x,y,z,w)=(x,-x,z,z).
Agora escrevemos isso como combinação linear de vetores parâmetros: se chamarmos x=a e z=b (dois parâmetros reais), então
(a,-a,b,b)=a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1).
Isto mostra que
S=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0),\; (0,0,1,1)\}.
Didática: essa forma paramétrica diz que S é gerado linearmente por dois vetores — logo é um subespaço (especificamente, um plano passando pela origem) e tem no máximo dimensão 2.

Passo 7

Verificar que os vetores geradores são linearmente independentes (para confirmar dimensão).
Considere
\alpha(1,-1,0,0)+\beta(0,0,1,1)=(0,0,0,0).
Isso dá o sistema de coordenadas:
\alpha=0,\quad -\alpha=0,\quad \beta=0,\quad \beta=0.
Da primeira equação \alpha=0, então -\alpha=0 é consistente; da terceira \beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, portanto os dois vetores são linearmente independentes. Assim formam uma base de S e
\dim S=2.
Didática: se os geradores fossem linearmente dependentes teríamos redução do número de parâmetros; aqui sobram dois parâmetros livres a e b, então dimensão 2.

Passo 8

Conclusão lógica com base nas verificações:
  • S contém o vetor nulo.
  • S é fechado sob soma.
  • S é fechado sob multiplicação por escalares.
Portanto S satisfaz as três propriedades que caracterizam subespaços vetoriais de \mathbb{R}^4. Além disso, S é o espaço gerado por \{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\} e tem dimensão 2.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^4. Uma base é \{(1,-1,0,0),\;(0,0,1,1)\} e \dim S=2.

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