Decida quais conjuntos
são subespaços vetoriais do espaço vetorial
dado. Para os que não forem, escreva qual propriedade que falha e dê um contra-exemplo.
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
ou seja, cada vetor de
é subespaço de
; se não for, apontar qual propriedade falha e dar um contra-exemplo.]
Passo 2
Vamos lembrar (de forma direta e prática) o que precisamos checar para um subconjunto
ser subespaço:
- O vetor nulo
pertence a . - Fechamento por soma: se
e então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
Essas três condições são suficientes e necessárias. Vou checar cada uma explicitamente com cálculos bem claros.
Passo 3
Verificar se o vetor nulo está em
.
O vetor nulo é
. Substituindo nas equações:
ambas verdadeiras. Logo
.
Comentário didático curto: é sempre um bom primeiro teste — se o zero não estiver no conjunto, já deu fail.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
Pelo fato de pertencerem a
sabemos que
Agora somamos coordenada a coordenada:
Checamos as equações para
:
Portanto
satisfaz as duas condições e assim
. Fechamento por soma verificado.
Didática: a soma preserva as equações lineares porque as exigências são expressas por soma/diferença linear das coordenadas.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tome
e
, então
Considere
. Verificamos:
Portanto
. Fechamento por escalar verificado.
Didática: multiplicar por escalar simplesmente escala as igualdades lineares — se a soma era zero, escala também dá zero.
Passo 6
Mostrar uma descrição paramétrica e identificar uma base (ajuda a entender estrutura e dimensão).
Das equações dadas podemos escrever explicitamente as dependências:
Logo um vetor arbitrário de
tem a forma
Agora escrevemos isso como combinação linear de vetores parâmetros: se chamarmos
e
(dois parâmetros reais), então
Isto mostra que
Didática: essa forma paramétrica diz que
é gerado linearmente por dois vetores — logo é um subespaço (especificamente, um plano passando pela origem) e tem no máximo dimensão
.
Passo 7
Verificar que os vetores geradores são linearmente independentes (para confirmar dimensão).
Considere
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da primeira equação
, então
é consistente; da terceira
. Logo
é a única solução, portanto os dois vetores são linearmente independentes. Assim formam uma base de
e
Didática: se os geradores fossem linearmente dependentes teríamos redução do número de parâmetros; aqui sobram dois parâmetros livres
e
, então dimensão
.
Passo 8
Conclusão lógica com base nas verificações:
-
contém o vetor nulo. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Portanto
satisfaz as três propriedades que caracterizam subespaços vetoriais de
. Além disso,
é o espaço gerado por
e tem dimensão
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
. Uma base é
e
.