(5 ptos) Considere os conjuntos \beta_{1}=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\} em \mathbb{R}^{2}.
(a) Mostre que \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3} formam bases de \mathbb{R}^{2}.
(b) Ache as matrizes de mudança de base: [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} e [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}.
(c) Seja v=(-3,-2). Escreva o vetor coordenada [v]_{\beta_{2}} e ache [v]_{\beta_{1}} usando [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}.
(d) Seja u=(-1,3). Escreva o vetor coordenada [u]_{\beta_{3}} e ache [u]_{\beta_{2}} usando [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}.

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos de \mathbb{R}^2:
\beta_{1}=\{(1,0),(0,2)\},\qquad \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\},\qquad \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} formam bases de \mathbb{R}^2.
(b) Encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} e [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}.
(c) Para v=(-3,-2): escrever [v]_{\beta_{2}} e achar [v]_{\beta_{1}} usando [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}.
(d) Para u=(-1,3): escrever [u]_{\beta_{3}} e achar [u]_{\beta_{2}} usando [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}.

Passo 2

O que significa “ser base” em \mathbb{R}^2 (explicação didática, sem pular etapas): uma coleção de dois vetores em \mathbb{R}^2 é base se e só se os vetores forem linearmente independentes (ou equivalentemente, se não estiverem colineares). Para testar isso de modo rápido usamos o determinante da matriz 2\times2 cujas colunas (ou linhas) são esses vetores: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base. Lembrete da fórmula do determinante para uma matriz 2\times2:
\text{se }A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\quad\text{então}\quad \det(A)=ad-bc.ã
Vou aplicar isso a cada par de vetores dado.

Passo 3

Verificando \beta_{1}=\{(1,0),(0,2)\}. Formo a matriz cujas colunas são esses vetores:
A_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Calculo o determinante usando \det(A_1)=1\cdot 2 - 0\cdot 0:
\det(A_1)=2\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, sendo dois vetores em \mathbb{R}^2, formam base. Portanto \beta_{1} é base.]

Passo 4

Verificando \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\}. Matriz com essas colunas:
A_2=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(A_2)=(-1)\cdot 1 - 0\cdot 1 = -1 \neq 0.
Logo \beta_{2} também é base de \mathbb{R}^2.]

Passo 5

Verificando \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}. Matriz com essas colunas:
A_3=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(A_3)=(-1)\cdot(-1) - (-1)\cdot 0 = 1 \neq 0.
Portanto \beta_{3} é base também.]

Passo 6

Agora: o que é exatamente [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} e como construí-la? Explico o convênio que vou usar (importante para não confundir): tomo [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} como a matriz que converte coordenadas de \beta_{2} para coordenadas de \beta_{1}. Ou seja, para qualquer vetor w,
[w]_{\beta_{1}} = [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\;[w]_{\beta_{2}}.
A regra prática para montar essa matriz: cada coluna de [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} é o vetor de coordenadas (em relação a \beta_{1}) de um dos vetores da base \beta_{2}. Ou seja, pego cada vetor de \beta_{2}, escrevo ele como combinação linear dos vetores de \beta_{1}, e uso os coeficientes como coluna.

Passo 7

Construindo [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}. Precisamos expressar os vetores de \beta_{2} em termos da base \beta_{1}. Lembro que \beta_{1} tem vetores (1,0) e (0,2). Se um vetor genérico (x,y) é combinação a(1,0)+b(0,2), então
a(1,0)+b(0,2)=(a,2b).
Agora faço isso para os vetores de \beta_{2}:
  1. Para (-1,0) quero a, b tais que (a,2b)=(-1,0). Igualando coordenadas: a=-1 e 2b=0 então b=0. Logo as coordenadas de (-1,0) em \beta_{1} são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  2. Para (1,1) quero a, b tais que (a,2b)=(1,1). Assim a=1 e 2b=1 então b=\tfrac{1}{2}. Logo as coordenadas são \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
As colunas da matriz [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} são essas coordenadas (na mesma ordem dos vetores de \beta_{2}). Portanto
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Construindo [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}. Pelo mesmo raciocínio, cada coluna será as coordenadas (em \beta_{2}) dos vetores de \beta_{3}. A base \beta_{2} tem vetores (-1,0) e (1,1). Se c e d são coeficientes tais que
c(-1,0)+d(1,1)=(-c+d,\,d),
então ( -c+d, d) deve igualar o vetor de \beta_{3} considerado.
Faço isso para os vetores de \beta_{3}:
  1. Para (-1,-1): igualando a (-c+d, d)=(-1,-1) d=-1 e -c+d=-1. Com d=-1 obtemos -c-1=-1 então -c=0 e c=0. Logo coordenadas em \beta_{2} são \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  2. Para (0,-1): igualando (-c+d, d)=(0,-1) d=-1 e -c+d=0. Com d=-1 obtemos -c-1=0 então -c=1 e c=-1. Logo coordenadas em \beta_{2} são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
As colunas na ordem dos vetores de \beta_{3} formam
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt] -1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Parte (c) — primeiro passo: encontrar [v]_{\beta_{2}} para v=(-3,-2). Escrevo v como combinação dos vetores de \beta_{2}, isto é, procuro a,b tais que
a(-1,0)+b(1,1)=(-a+b,\,b)=(-3,-2).
Igualando coordenadas obtemos do segundo componente b=-2. Substituindo no primeiro: -a + (-2) = -3 \Rightarrow -a-2=-3 \Rightarrow -a= -1 \Rightarrow a=1. Assim
[v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 10

Ainda (c) — agora obter [v]_{\beta_{1}} usando [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}. Lembro que
[v]_{\beta_{1}} = [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\, [v]_{\beta_{2}}.
Substituo a matriz que achamos em

Passo 11

[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad [v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação:
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot 1 + 1\cdot(-2)\\[6pt] 0\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2\\[6pt] 0 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Logo [v]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}. (Verificação rápida: em \beta_{1} isso corresponde a -3(1,0)+(-1)(0,2)=(-3,-2), ok.)]

Passo 12

Parte (d) — primeiro passo: achar [u]_{\beta_{3}} para u=(-1,3). Escrevo u como combinação dos vetores de \beta_{3}, isto é, procuro s,t tais que
s(-1,-1)+t(0,-1)=(-s,\, -s-t)=(-1,3).
Da primeira coordenada obtemos -s=-1 então s=1. Da segunda: -s-t=3 com s=1 -1-t=3 \Rightarrow -t=4 \Rightarrow t=-4. Assim
[u]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 13

Ainda (d) — obter [u]_{\beta_{2}} usando [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}. Uso a relação
[u]_{\beta_{2}} = [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}\, [u]_{\beta_{3}}.
Substituo a matriz de

Passo 14

[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt] -1 & -1\end{pmatrix},\qquad [u]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Multiplicando:
\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt] -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + (-1)\cdot(-4)\\[6pt] -1\cdot 1 + (-1)\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\[6pt] -1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Portanto [u]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}. (Verificação: em \beta_{2} isso dá 4(-1,0)+3(1,1)=(-4+3,3)=(-1,3), consistente.)]

Resposta

(a) \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3} são bases de \mathbb{R}^{2} (determinantes 2,-1,1 respectivamente).
(b) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt] -1 & -1\end{pmatrix}.
(c) [v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}, [v]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
(d) [u]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}, [u]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

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