(5 ptos) Considere os conjuntos
e
em
.
(a) Mostre que
formam bases de
.
(b) Ache as matrizes de mudança de base:
e
.
(c) Seja
. Escreva o vetor coordenada
e ache
usando
.
(d) Seja
. Escreva o vetor coordenada
e ache
usando
.
(a) Mostre que
(b) Ache as matrizes de mudança de base:
(c) Seja
(d) Seja
Passo 1
O enunciado dá três subconjuntos de
:
As perguntas são:
(a) Mostrar que formam bases de
.
(b) Encontrar as matrizes de mudança de base e
.
(c) Para : escrever
e achar
usando
.
(d) Para : escrever
e achar
usando
.
(a) Mostrar que
(b) Encontrar as matrizes de mudança de base
(c) Para
(d) Para
Passo 2
O que significa “ser base” em
(explicação didática, sem pular etapas): uma coleção de dois vetores em
é base se e só se os vetores forem linearmente independentes (ou equivalentemente, se não estiverem colineares). Para testar isso de modo rápido usamos o determinante da matriz
cujas colunas (ou linhas) são esses vetores: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base. Lembrete da fórmula do determinante para uma matriz
:
Vou aplicar isso a cada par de vetores dado.
Passo 3
Verificando
. Formo a matriz cujas colunas são esses vetores:
Calculo o determinante usando
:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, sendo dois vetores em
, formam base. Portanto
é base.]
Passo 4
Verificando
. Matriz com essas colunas:
Determinante:
Logo
também é base de
.]
Passo 5
Verificando
. Matriz com essas colunas:
Determinante:
Portanto
é base também.]
Passo 6
Agora: o que é exatamente
e como construí-la? Explico o convênio que vou usar (importante para não confundir): tomo
como a matriz que converte coordenadas de
para coordenadas de
. Ou seja, para qualquer vetor
,
A regra prática para montar essa matriz: cada coluna de
é o vetor de coordenadas (em relação a
) de um dos vetores da base
. Ou seja, pego cada vetor de
, escrevo ele como combinação linear dos vetores de
, e uso os coeficientes como coluna.
Passo 7
Construindo
. Precisamos expressar os vetores de
em termos da base
. Lembro que
tem vetores
e
. Se um vetor genérico
é combinação
, então
Agora faço isso para os vetores de
:
-
Para
quero tais que . Igualando coordenadas: e então . Logo as coordenadas de em são . -
Para
quero tais que . Assim e então . Logo as coordenadas são .
As colunas da matriz
são essas coordenadas (na mesma ordem dos vetores de
). Portanto
Passo 8
Construindo
. Pelo mesmo raciocínio, cada coluna será as coordenadas (em
) dos vetores de
. A base
tem vetores
e
. Se
e
são coeficientes tais que
então
deve igualar o vetor de
considerado.
Faço isso para os vetores de
:
-
Para
: igualando a dá e . Com obtemos então e . Logo coordenadas em são . -
Para
: igualando dá e . Com obtemos então e . Logo coordenadas em são .
As colunas na ordem dos vetores de
formam
Passo 9
Parte (c) — primeiro passo: encontrar
para
. Escrevo
como combinação dos vetores de
, isto é, procuro
tais que
Igualando coordenadas obtemos do segundo componente
. Substituindo no primeiro:
. Assim
Passo 10
Ainda (c) — agora obter
usando
. Lembro que
Substituo a matriz que achamos em
Passo 11
Faço a multiplicação:
Logo
. (Verificação rápida: em
isso corresponde a
, ok.)]
Passo 12
Parte (d) — primeiro passo: achar
para
. Escrevo
como combinação dos vetores de
, isto é, procuro
tais que
Da primeira coordenada obtemos
então
. Da segunda:
com
dá
. Assim
Passo 13
Ainda (d) — obter
usando
. Uso a relação
Substituo a matriz de
Passo 14
Multiplicando:
Portanto
. (Verificação: em
isso dá
, consistente.)]
Resposta
(a)
são bases de
(determinantes
respectivamente).
(b)
,
.
(c)
,
.
(d)
,
.]