Decida se a curva espacial dada por r(t)=lang<= sin t, cos t/2, t rang<= intersecta o eixo z e, se intersectar, determine onde.

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se a curva espacial r(t)=lang<= sin t,,cos(t/2),,trang<= cruza o eixo z e, se sim, onde ela faz isso. O conteúdo envolve interseção de curva parametrizada com reta (o eixo z), então a gente vai precisar impor que as coordenadas x(t) e y(t) sejam zero.

Passo 2

Para a curva estar no eixo z, suas coordenadas x e y devem ser nulas. Ou seja, precisamos resolver o sistema
sin t = 0, cosl(t/2r)=0

Passo 3

Começando pela primeira equação, sin t = 0 se resolve assim:
sin t = 0 Longrightarrow t = kpi, kinZ

Passo 4

Agora a segunda: cosl(t/2r)=0 implica
t2 = pi2 + mpi Longrightarrow t = pi + 2mpi, minZ

Passo 5

Para satisfazer as duas ao mesmo tempo, igualamos as soluções:
kpi = pi + 2mpi Longrightarrow k = 1 + 2m,
o que significa que k é ímpar. Assim
t = (2n+1)pi, ninZ

Passo 6

Finalmente, nesses valores de t temos
rl((2n+1)pir) = l(0,0,(2n+1)pir),
ou seja, os pontos de interseção com o eixo z são exatamente (0,0,(2n+1)pi) para inteiro n.

Resposta

A curva intersecta o eixo z nos pontos (0,0,(2n+1)pi)), com ninZ.

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