Decida o tipo da superfície quádrica e descreva o traço obtido pela interseção com o plano dado.
y=3x^2, z=27.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de superfície quádrica dada por y=3x^2 e depois descrever o traço dessa superfície com o plano z=27. Vamos usar conhecimentos de superfícies quádricas e de traços (curvas de interseção).

Passo 2

A equação y=3x^2 não depende de z, o que significa que a mesma curva no plano xy se repete para todo valor de z. Pela teoria das superfícies quádricas, isso caracteriza um cilindro parabólico cuja geratriz é paralela ao eixo z.

Passo 3

Para obter o traço com o plano z=27, substituímos z=27 na superfície. Como y=3x^2 não envolve z, a intersecção é dada por
y=3x^2, z=27

Passo 4

Portanto, o traço é uma parábola no plano z=27, com equação y=3x^2. Podemos também escrever sua forma paramétrica:
l(x,3x^2,27r), xinR

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder). O traço com o plano z=27 é a parábola y=3x^2 localizada no plano z=27.

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