Decida o tipo da superfície quádrica e descreva o traço obtido pela interseção com o plano dado.
(x2)^2+(y5)^2-5z^2=1, x=0.

Passo 1

A questão pede para a gente classificar a superfície quádricas dada por
(x2)^2 + (y5)^2 - 5z^2 = 1
e também descrever o traço obtido ao intersectar essa superfície com o plano x = 0. O conteúdo aqui é classificação de quádricas e estudo de traços planos.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de identificação. Já está em uma forma quase canônica:
x^22^2 + y^25^2 - z^2(1/raiz5)^2 = 1
Temos dois sinais positivos (para x^2 e y^2) e um negativo (para z^2), com constante igual a 1. Isso caracteriza um hiperbóide de uma folha.

Passo 3

Agora vamos achar o traço com o plano x = 0. Basta substituir x = 0 na equação original:
0 + (y5)^2 - 5z^2 = 1
Ou seja,
y^225 - 5z^2 = 1
Isso é uma hipérbole no plano y!z.

Passo 4

Para escrever de modo mais padrão, note que
5z^2 = z^21/5
Portanto
y^25^2 - z^2(1/raiz5)^2 = 1
É uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso ao longo do eixo y, vértices em (y,z) = (pm5,0) e semi-eixo conjugado de tamanho 1/raiz5.

Resposta

A superfície é um hiperbóide de uma folha. O traço em x=0 é uma hipérbole dada por y^2/25 - 5z^2 = 1, com vértices em (0,pm5,0) e eixo transverso paralelo a Oy.

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