Decida se existe uma função f: R -> R ímpar tal que
f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
e f(x) != 0, x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para descobrir se existe uma função que seja ímpar e que satisfaça a equação funcional para todos os números reais e . Além disso, é dado que para todo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e trabalhar com equações funcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função é ímpar se, para todo , . Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação funcional . Esse tipo de equação aparece geralmente quando a função tem uma forma exponencial. Na verdade, sabemos que funções exponenciais satisfazem esse tipo de propriedade: .

Passo 4

Vamos testar o que acontece quando colocamos na equação funcional. Substituindo, temos:
Simplificando, fica . Como , podemos dividir os dois lados por , obtendo:
Então, descobrimos que .

Passo 5

Agora, vamos usar a propriedade de ser ímpar. Sabemos que . Substituindo , temos:
Como e já sabemos que , substituindo:
Isso é uma contradição, porque 1 não é igual a -1.

Resposta

Não existe uma função que seja ímpar, satisfaça para todo e que para todo .

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