Decida se existe uma função
ímpar tal que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para descobrir se existe uma função
que seja ímpar e que satisfaça a equação funcional
para todos os números reais
e
. Além disso, é dado que
para todo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e trabalhar com equações funcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
,
. Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação funcional
. Esse tipo de equação aparece geralmente quando a função
tem uma forma exponencial. Na verdade, sabemos que funções exponenciais satisfazem esse tipo de propriedade:
.
Passo 4
Vamos testar o que acontece quando colocamos
na equação funcional. Substituindo, temos:
Simplificando, fica
. Como
, podemos dividir os dois lados por
, obtendo:
Então, descobrimos que
.
Passo 5
Agora, vamos usar a propriedade de ser ímpar. Sabemos que
. Substituindo
, temos:
Como
e já sabemos que
, substituindo:
Isso é uma contradição, porque 1 não é igual a -1.
Resposta
Não existe uma função
que seja ímpar, satisfaça
para todo
e que
para todo
.