Seja f(x) = { x, se x < 1; x^2, se 1 <= x <= 9; 27 * raiz(x), se x > 9 }. Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(-1)(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função tem uma inversa e, se tiver, encontrar . A função é definida por partes:
Vamos usar conceitos de funções inversas e verificar se cada parte dessa função é injetora (ou seja, cada saída corresponde a apenas uma entrada), o que é necessário para que a função tenha uma inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada trecho da função é injetora.
  1. Para : A função é , que é uma função linear crescente. Como para cada valor de temos apenas um valor de , essa parte é injetora.
  2. Para : A função é . No intervalo , é também crescente, então essa parte é injetora.
  3. Para : A função é . A raiz quadrada é uma função crescente, e multiplicando por 27 continua sendo crescente. Portanto, essa parte também é injetora.
Como cada parte da funç��o é injetora em seu respectivo intervalo, a função completa é injetora e, portanto, possui uma inversa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa para cada parte da função original.
  1. Para quando :
    Então, a inversa é .
  2. Para quando :
    Como , não precisamos nos preocupar com valores negativos. Assim, a inversa é .
  3. Para quando :
    Então, a inversa é .

Resposta

A inversa da função é dada por:

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